2015年高考理数真题试卷（陕西卷）

试卷更新日期：2016-04-12 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 设集合M={x|x²=x}，N={x|lgx≤0}，则M $\cup$ N（）

A、[0，1] B、(0，1] C、[0，1) D、(- $\infty$ ， 1]

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2.
某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）

A、167 B、137 C、123 D、93

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3.
如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin( $\frac{π}{6}$ x+ $φ$ )+k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）

A、5 B、6 C、8 D、10

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4. 二项式 ${(x + 1)}^{n}$ $(n \in N_{+})$ 的展开式中x²的系数为15，则n=（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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5.
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、3 $π$ B、4 $π$ C、2 $π$ +4 D、3 $π$ +4

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6. “sin $α$ =cos $α$ ”是“cos2 $α$ =0”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 对任意向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，下列关系式中不恒成立的是（）

A、 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ B、 $|\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| - |\vec{b}|$ C、 $(\vec{a} + \vec{b})^{2} = {|\vec{a} + \vec{b}|}^{2}$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) (\vec{a} - \vec{b}) = {\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2}$

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8.
根据如图框图，当输入x为2006时，输出的y=（　　）

A、28 B、10 C、4 D、2

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9. 设f(x)=lnx， 0<a<b，若p=f( $\sqrt{a b}$ )，q=f( $\frac{a + b}{2}$ )，r= $\frac{1}{2}$ (f(a)+f(b))，则下列关系式中正确的是（）

A、q=r<p B、q=r>p C、p=r<q D、p=r>q

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10. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）

甲
乙
原料限额
A（吨）
3
2
12
B（吨）
1
2
8

A、12万元 B、16万元 C、17万元 D、18万元

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11. 设复数z=(x-1)+yi(x， y $\in$ R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{2 π}$ B、 $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{2 π}$ C、 $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{π}$ D、 $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{π}$

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12. 对二次函数f（x）=ax²+bx+c（a为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）

A、-1是f(x)的零点 B、1是f(x)的极值点 C、3是f(x)的极值 D、点(2,8)在曲线y=f(x) 上

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二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．

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14. 若抛物线y²=2px(p>0)的准线经过双曲线x²-y²=1的一个焦点，则p= ．

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15. 设曲线y=e^x在点（0，1）处的切线与曲线y= $\frac{1}{x}$ (x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为。

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16.
如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）

17. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量 $\vec{m} = (a ， \sqrt{3} b)$ 与 $\vec{n} = (\cos A ， \sin B)$ 平行．

(1)、求A。

(2)、若a= $\sqrt{7}$ ， b=2求△ABC的面积。

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18.
如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， $∠$ BAD= $\frac{π}{2}$ ， AB=BC=1，AD=2， E是AD的中点，0是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，如图2．

(1)、证明：CD⊥平面A₁OC

(2)、若平面A₁BE⊥平面BCDE，求平面A₁BC与平面A₁CD夹角的余弦值.

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19. 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
T（分钟）
25
30
35
40
频数（次）
20
30
40
10

(1)、求T的分布列与数学期望ET；

(2)、刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>b>0）的半焦距为c，原点0到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为 $\frac{1}{2}$ c．

(1)、求椭圆E的离心率

(2)、
如图，AB是圆M：（x+2）²+（y-1)= $\frac{5}{2}$ 的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．

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21. 设f_n(x)是等比数列1，x，x²...，xⁿ的各项和，其中x>0，n $\in$ N，，n≥2，

(1)、证明：函数F_n（x）=f_n(x)-2在( $\frac{1}{2}$ ， 1)内有且仅有一个零点（记为x_n），且x_n= $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ x_nⁿ⁺¹；

(2)、设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g_n(x)，比较f_n(x)与g_n(x)的大小，并加以证明．

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22.
如图，AB切 $○$ O于点D，直线AD交 $○$ O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．

(1)、证明： $∠$ CBD= $∠$ DBA；

(2)、若AD=3DC，BC= $\sqrt{2}$ ，求 $○$ O的直径．

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23. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = 3 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， $○$ c的极坐标方程为 $ρ$ =2 $\sqrt{3}$ sin $θ$ ．

(1)、写出 $○$ c的直角坐标方程；

(2)、P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

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24. 选修4-5：不等式选讲, 已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、求 $\sqrt{a t + 12}$ + $\sqrt{b t}$ 的最大值．

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	甲	乙	原料限额
A（吨）	3	2	12
B（吨）	1	2	8

T（分钟）	25	30	35	40
频数（次）	20	30	40	10