2015年高考理数真题试卷（北京卷）

试卷更新日期：2016-04-12 类型：高考真卷

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一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 复数i(2-i)=（）

A、1+2i B、1-2i C、-1+2i D、-1-2i

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2. 若x，y满足 $\{\begin{matrix} x - y \leq 0 \\ x + y \leq 1 \\ x \geq 0 \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix}$ ，则z=x+2y的最大值为（）

A、0 B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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3.
执行如图所示的程序框图，输出的结果为（），

A、（-2，2） B、（-4，0） C、（-4，4） D、（0，-8）

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4. 设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，m是直线且m $\subset$ $α$ ． "m $∥ β$ "是" $α$ $∥$ $β$ "的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5.
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

A、2+ $\sqrt{5}$ B、4+ $\sqrt{5}$ C、2+2 $\sqrt{5}$ D、5

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6. 设 $\{a_{n}\}$ 是等差数列.下列结论中正确的是（）

A、若 $a_{1} + a_{2} > 0$ ，则 $a_{2} + a_{3} > 0$ B、若 $a_{1} + a_{3} < 0$ ，则 $a_{1} + a_{2} < 0$ C、若 $0 < a_{1} < a_{2}$ ，则 $a_{2} > \sqrt{a_{1} a_{3}}$ D、若 $a_{1} < 0$ ，则（ $a_{2} - a_{1}$ ）( $a_{2} - a_{3}$ ) $> 0$

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7.
如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x) $\geq$ log₂(x+1)的解集是（）

A、 $\{x | - 1 < x ⩽ 0\}$ B、 $\{x | - 1 \leq x \leq 1\}$ C、 $\{x | - 1 < x \leq 1\}$ D、 $\{x | - 1 < x \leq 2\}$

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8.
汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）

A、消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B、以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C、甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D、某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

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二、填空题共6小题，每小题5分，共30分

9. 在 ${(2 + x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为 (用数字作答)。

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3} x + y = 0$ ，则 $a =$ .

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11. 在极坐标系中，点 $(\begin{matrix} 2 & \frac{π}{3} \end{matrix})$ 到直线 $ρ (\cos θ + \sqrt{3} \sin θ) = 6$ 的距离为 .

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12. 在 $△ A B C$ 中， $a = 4$ ， $b = 5$ ， $c = 6$ ，则 $\frac{\sin 2 A}{\sin C}$ = ．

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13. 在 $△ A B C$ 中，点 $M$ ， $N$ 满足 $\vec{A M}$ =2 $\vec{M C}$ ， $\vec{B N} = \vec{N C}$ ．若 $\vec{M N} = x \vec{A B} + y \vec{A C} ，$ 则x= ： y= .

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14.
设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2^{x} - a ， x < 1 \\ 4 (x - a) (x - 2 a) ， x ⩾ 1 \end{matrix}$
①若 $a = 1$ ，则 $f (x)$ 的最小值为；
②若 $f (x)$ 恰有2个零点，则实数 $a$ 的取值范围是 .

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三、解答题

15. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \sqrt{2} \sin^{2} \frac{x}{2} .$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[\begin{matrix} - π & 0 \end{matrix}]$ 上的最小值．

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16. A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16
B组：12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；
(Ⅱ) 如果a=25 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(Ⅲ) 当a为何值时，A ， B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

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17.
如图，在四棱锥A-EFCB中， $△ A E F$ 为等边三角形，平面AEF $⊥$ 平面EFCB， $E F ∥ B C$ ，

$B C = 4$ ， $E F = 2$ ， $∠ E B C = ∠ F C B = 60 °$ ， O为EF的中点．

（Ⅰ）求证： $A O ⊥ B E$ ；

（Ⅱ）求二面角F-AE-B的余弦值；

（Ⅲ）若BE $⊥$ 平面AOC，求a的值．

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18. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) > 2 (x + \frac{x^{3}}{3})$ ；
（Ⅲ）设实数k使得 $f (x) > k (x + \frac{x^{3}}{3})$ 对 $x \in (0 ， 1)$ 恒成立，求k的最大值．

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19.
已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > c)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P (0 ， 1)$ 和点 $A (m ， n) (m \neq 0)$ 都在椭圆 $C$ 上，直线 $P A$ 交x轴于点M．

(1)、（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用 $m$ ， $n$ 表示）；

(2)、（Ⅱ）设 $O$ 为原点，点 $B$ 与点 $A$ 关于 $X$ 轴对称，直线 $P B$ 交X轴于点N．问：Y轴上是否存在点Q，使得 $∠ O Q M = ∠ O N Q$ ？若存在，求点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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20. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} \in N^{*}$ ， $a_{1} ⩽ 36$ ，且 $a_{n + 1} = \{\begin{matrix} 2 a_{n} ， a_{n} \leq 18 \\ 2 a_{n} - 36 ， a_{n} > 18 \end{matrix}$ (n=1，2，...)．记
集合 $M = \{a_{n} | n \in N^{*}\}$ ．

(1)、（Ⅰ）若 $a_{1} = 6$ ，写出集合M的所有元素；

(2)、（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；

(3)、（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．

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