2015年高考理数真题试卷(湖南卷)
试卷更新日期:2016-04-12 类型:高考真卷
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
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1. 已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=( )A、1+i B、1-i C、-1+i D、-1-i2. 设,是两个集合,则“="是""的( )A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条3.
执行如图所示的程序框图,如果输入 , 则输出的 ( )
A、 B、 C、 D、4. 若变量满足约束条件 , 则的最小值为( )A、-7 B、-1 C、1 D、25. 设函数 , 则是( )A、奇函数,且在上是增函数 B、奇函数,且在上是减函数 C、偶函数,且在上是增函数 D、偶函数,且在上是减函数6. 已知的展开式中含的项的系数为30,则=( )A、 B、 C、6 D、- 67.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
附:若 , 则 ,
A、2386 B、2718 C、3413 D、47728. 已知点 , , 在圆上运动,且 , 若点的坐标为 , 则的最大值为( )
A、6 B、7 C、8 D、99. 将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像,若对满足的 , , 有 , 则( )A、 B、 C、 D、10.某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=
)
A、 B、 C、 D、二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分
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11. = .12.
在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示,若将运动员按成绩由好到差编为 号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间 上的运动员人数是
13.设是双曲线:的一个焦点,若上存在点使线段的中点恰为其虚轴的一个端点,则的离心率为14. 设为等比数列的前项和,若 , 且成等差数列,则 。15.- 已知 , 若存在实数 , 使函数有两个零点,则的取值范围是 。
三、解答题
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16.
(1)如图,在圆 中,相交于点 的两弦 , 的中点分别是 , , 直线 与直线 相交于点 , 证明:
(1) ;
(2)
17. 已知直线(为参数),一坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(1)、(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,(2)、(2)设点的直角坐标为 , 直线与曲线的交点为 , 求的值18. 设 , 且 , 证明
(1)、(2)、与不可能同时成立19. 设的对边分别为且为锐角,问:(1)证明: B - A = , (2)求 sin A + sin C 的取值范围
(1)、(1)证明:
(2)、(2)求的取值范围
20. 某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖,求下列问题:(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.(1)、(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率(2)、(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 , 求的分布列和数学期望.21.如图,已知四棱台 上、下底面分别是边长为3和6的正方形, , 且
底面 , 点 , 分别在棱 , 上.
(1)若是 是 的中点,证明: ;
(2若 //平面 , 二面角 的余弦值为 , 求四面体 的体积