福建省龙岩市2019-2020学年八年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-02-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. ${(- 1)}^{2} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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2. 下列交通路口分流图案中，属于轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确是（）

A、 $- {(- 4 a)}^{2} = 4 a^{2}$ B、 $4 a^{6} \div a^{2} = 4 a^{3}$ C、 $a + 4 a^{3} = 4 a^{4}$ D、 $a^{2} \cdot 4 a^{3} = 4 a^{5}$

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4. 计算下列四个式子，其值大于 $1$ 的是（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ B、 ${(- 2)}^{2}$ C、 $- 2^{0}$ D、 ${(- 2)}^{0}$

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5. 下列各组的分式不一定相等的是（）

A、 $\frac{2 x}{x + y}$ 与 $\frac{x}{y}$ B、 $\frac{2 m}{- 3 n}$ 与 $- \frac{2 m}{3 n}$ C、 $\frac{2 a}{b}$ 与 $\frac{2 a b^{2}}{b^{3}}$ D、 $\frac{6 x z}{9 x^{2} y}$ 与 $\frac{2 z}{3 x y}$

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6. $A$ ， $B$ 两地相距 $50 km$ ，一艘轮船从 $A$ 地逆流航行到 $B$ 地，又立即从 $B$ 地顺流航行到 $A$ 地，共用去 $9h$ ，已知水流速度为 $3 km / h$ ，若设该轮船在静水中的速度为 $x km / h$ ，则下列所列方程正确是（）

A、 $\frac{50}{3 + x} + \frac{50}{3 - x} = 9$ B、 $\frac{50}{x + 3} + \frac{50}{x - 3} = 9$ C、 $\frac{50}{x} + 3 = 9$ D、 $\frac{100}{x + 3} + \frac{100}{x - 3} = 9$

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7. 下列简写的全等三角形的判定定理中，与角没有关系的是（）

A、SSS B、HL C、AAS D、SAS

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8. 在平面直角坐标系中，已知 $A (1 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ ，若点 $C (m ， n)$ 在第一象限，且 $Δ A B C$ 为等腰直角三角形，则正确所有点 $C$ 的 $n$ 值之和是（）

A、 $10$ B、 $6$ C、 $4$ D、 $2$

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9. 如图， $A B = A C$ ， $A E = E C = C D$ ， $∠ A = 60 °$ ，若 $E F = 2$ ，则 $D F =$ （）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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10. 如图， $Δ A B C$ 中， $A B$ 的垂直平分线 $D G$ 交 $∠ A C B$ 的平分线 $C D$ 于点 $D$ ，过 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，若 $A C = 10$ ， $C B = 4$ ，则 $A E =$ （）

A、 $7$ B、 $6$ C、 $3$ D、 $2$

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二、填空题

11. 因式分解： $2 x^{2} - 2 =$ ；

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12. 计算： $28 a^{3} b^{2} \div 7 a^{2} b =$ ；

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13. 方程 $\frac{1}{x + 3} = 1 \frac{1}{3}$ 的解是；

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14. 一组按规律排列的式子： $\frac{a^{2}}{b}$ ， $- \frac{a^{5}}{b^{2}}$ ， $\frac{a^{8}}{b^{3}}$ ， $- \frac{a^{11}}{b^{4}}$ ，（ $a b \neq 0$ ），其中第10个式子是；

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15. 若正 $n$ 边形的内角和与其中一个外角的和为 $1125 °$ ，则 $n$ =；

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16. 如图，已知 $A B = A C$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $∠ D E B = ∠ E B C = 60 °$ ，若 $B E = 3$ ， $D E = \sqrt{3}$ ，则 $B C$ = ．

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三、解答题

17. 计算： $3^{0} + | - 3 | - {(\frac{1}{3})}^{- 1}$

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18. 解方程： $\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} + 1 = \frac{x}{x - 1}$ ．

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19. 先化简，后求值： $(x + 2 + \frac{5}{2 - x}) \div \frac{3 - x}{2 x - 4}$ ，其中 $x = 2$ ．

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20. 如图， $A B$ ∥ $C D$ ， $A B = C D$ ．求证： $A D = B C$ ．

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21. 已知 $x = a (\frac{1}{b} + \frac{1}{c})$ ， $y = b (\frac{1}{a} + \frac{1}{c})$ ， $z = c (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ ．

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 1$ ， $c = 2$ 时，求 $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{y - 1}$ 的值；

(2)、当 $a b + b c + a c \neq 0$ 时,求 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 1}$ 的值．

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22. 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是 $1$ ，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了 ${(a + b)}^{n}$ $(n = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 \dots)$ 的展开式（按 $a$ 的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第三行的 $3$ 个数 $1 ， 2 ， 1$ ，恰好对应着 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 展开式中的各项系数，第四行的 $4$ 个数 $1 ， 3 ， 3 ， 1$ ，恰好对应着 ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ 展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：

(1)、写出 ${(a + b)}^{4}$ 的展开式；

(2)、利用整式的乘法验证你的结论．

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23. 如图，射线 $O K$ 的端点 $O$ 是线段 $A B$ 的中点，请根据下列要求作答：

(1)、尺规作图：在射线 $O K$ 上作点 $C ， D$ ，连接 $A C ， B D$ ，使 $A C = B D$ ＞ $\frac{1}{2} A B$ ；

(2)、利用（1）中你所作的图，求证： $∠ A C O = ∠ B D O$ ．

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24. 某商场第一次用 $22000$ 元购进某款智能清洁机器人进行销售，很快销售一空，商家又用 $48000$ 元第二次购进同款智能清洁机器人，所购进数量是第一次的 $2$ 倍，但单价贵了 $10$ 元．

(1)、求该商家第一次购进智能清洁机器人多少台？

(2)、若所有智能清洁机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于 $20 \frac{0}{0}$ （不考虑其它因素），那么每台智能清洁机器人的标价至少是多少元？

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25. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上（不与点 $B ， C$ 重合），过点 $C$ 作 $C E ⊥ A D$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，连接 $D F$ ．

(1)、当 $∠ C A D = 30 °$ ， $C D = 8$ ，求 $A E$ 的长；

(2)、求证： $∠ C A D$ = $∠ B C F$ ；

(3)、若点 $D$ 是 $B C$ 中点，求证： $A D = C F + F D$ ．

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