初中数学浙教版九年级下册2.3 三角形的内切圆强化提升训练

试卷更新日期：2020-02-20 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则cos∠ODA= （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°+ $\frac{1}{2}$ ∠A；②EF不可能是△ABC的中位线；③设OD＝m，AE+AF＝n，则S_△AEF＝ $\frac{1}{2}$ mn；④以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．其中符合题意结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 如图， $∠ E O F$ 的顶点O是边长为2的等边 $Δ A B C$ 的重心， $∠ E O F$ 的两边与 $Δ A B C$ 的边交于E ， F ， $∠ E O F = 120^{°}$ ，则 $∠ E O F$ 与 $Δ A B C$ 的边所围成阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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4. 如图，有一三角形ABC的顶点B，C皆在直线L上，且其内心为I.今固定C点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形A'B'C的顶点A′落在L上，且其内心为I′.若∠A＜∠B＜∠C，则下列叙述何者正确？（）

A、IC和 $I' A'$ 平行， $I I'$ 和L平行 B、IC和 $I' A'$ 平行， $I I'$ 和L不平行 C、IC和 $I' A'$ 不平行， $I I'$ 和L平行 D、IC和 $I' A'$ 不平行， $I I'$ 和L不平行

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5. 如图，AB是⊙O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D ， ∠BAC的平分线交CD于点E ．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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6. 如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD∥OA交OB于点D，点I是△OCD的内心，连结OI，BI．若∠AOB=β，则∠OIB等于( ）

A、180°- $\frac{1}{2}$ β B、180°-β C、90°+ $\frac{1}{2}$ β D、90°+β

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7. 如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，⊙O是△ABC的内切圆，连接AO，BO.则图中阴影部分的面积之和（）

A、 $10 - \frac{3}{2} π$ B、 $14 - \frac{5}{2} π$ C、12 D、14

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8. 已知在△ABC中，∠BAC＝90°，M是边BC的中点，BC的延长线上的点N满足AM⊥AN.△ABC的内切圆与边AB，AC的切点分别为E，F，延长EF分别与AN，BC的延长线交于P、Q，则 $\frac{P N}{Q N}$ ＝（）

A、1 B、0.5 C、2 D、1.5

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二、填空题

9. 如图，在圆心角为90°的扇形 $O A B$ 中， $O B = 2$ ， $P$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 上任意一点，过点 $P$ 作 $P E ⊥ O B$ 于点 $E$ ，设 $M$ 为 $Δ O P E$ 的内心，当点 $P$ 从点 $A$ 运动到点 $B$ 时，则内心 $M$ 所经过的路径长为．

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10. 如图，等边△ABC中，P为三角形内一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，连结AP、BP、CP，如果S_△_APF＋S_△_BPE＋S_△_PCD＝ $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ ，那么△ABC的内切圆半径为

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中，
⑴作AB和BC的垂直平分线交于点O；

⑵以点O为圆心，OA长为半径作圆；

⑶⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；

⑷连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P.

根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，

① $\overset{⌢}{B C} = 2 \overset{⌢}{N C}$ ； ② $A B = 2 A M$ ；

③点O是 $△ A B C$ 的外心； ④点P是 $△ A B C$ 的内心.

所有正确结论的序号是.

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12. 如图，AB为弓形AB的弦，AB＝2 $\sqrt{3}$ ，弓形所在圆⊙O的半径为2，点P为弧AB上动点，点I为△PAB的内心，当点P从点A向点B运动时，点I移动的路径长为.

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三、综合题

13. 如图，点 $E$ 是 $Δ A B C$ 的内心， $A E$ 的延长线和 $Δ A B C$ 的外接圆圆 $O$ 相交于点 $D$ ，过 $D$ 作直线 $D G / / B C$ .

(1)、求证： $D G$ 是圆 $O$ 的切线；

(2)、若 $D E = 6$ ， $B C = 6 \sqrt{3}$ ，求优弧 $\overset{⌢}{B A C}$ 的长.

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14. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圆O的直径DE=12cm.点E与点C重合，半圆O以2cm/s的速度从左向右移动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上.设运动时间为x(s），半圆O与△ABC的重叠部分的面积为S(cm²).

(1)、当x=0时，设点M是半圆O上一点，点N是线段AB上一点，则MN的最大值为：MN的最小值为.

(2)、在平移过程中，当点O与BC的中点重合时，求半圆O与△ABC重叠部分的面积S；

(3)、当x为何值时，半圆O与△ABC的边所在的直线相切?

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15. 如图

(1)、如图1，在面积为6的△ABC中，BC＝3，AB＝4，AC＝5，求△ABC内切圆O的半径r的值．

(2)、如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB＝a、BC＝b、CD＝c、AD＝d，求四边形的内切圆半径r的值．

(3)、若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a₁、a₂、……、a_n ，合理猜想其求内切圆半径r的公式（不需说明理由）

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16. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示，其形式为：设 $a$ ， $b$ ， $c$ 为三角形三边， $S$ 为面积，则 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ①
这是中国古代数学的瑰宝之一.

而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 $p = \frac{a + b + c}{2}$ （周长的一半），则 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ②

(1)、尝试验证.这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；

(2)、问题探究.经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从① $\Rightarrow$ ②或者② $\Rightarrow$ ① $）$ ；

(3)、问题引申.三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式.请你证明如下这个公式：如图， $Δ A B C$ 的内切圆半径为 $r$ ，三角形三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，仍记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ， $S$ 为三角形面积，则 $S = p r$ .

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初中数学浙教版九年级下册2.3 三角形的内切圆 强化提升训练

一、单选题

二、填空题

三、综合题

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