河南省郑州市2020年数学中考一模试卷（1月）

试卷更新日期：2020-02-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中，最大的数是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、0 D、-2

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2. 据统计，今年“五一”小长假期间，我市约有26.8万人次游览了植物园和动物园，则数据26.8万用科学记数法表示正确的是（）

A、268×10³ B、26.8×10⁴ C、2.68×10⁵ D、0.268×10⁶

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3. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算正确的是（　　）

A、a³+a³＝a⁶ B、（x﹣3）²＝x²﹣9 C、a³•a³＝a⁶ D、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$

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5. 下表是某校合唱团成员的年龄分布.

年龄/岁

13

14

15

16

频数

5

15

x

对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）

A、众数、中位数 B、平均数、中位数 C、平均数、方差 D、中位数、方差

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6. 若关于x的方程 ${kx}^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 $($ 　　 $)$

A、 $k > - 1$ B、 $k < - 1$ C、 $k \geq - 1$ 且 $k \neq 0$ D、 $k > - 1$ 且 $k \neq 0$

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7. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件中不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）

A、AB=AD B、OA=OB C、AC=BD D、DC⊥BC

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8. 阿信、小怡两人打算搭乘同一班次电车上学，若此班次电车共有5节车厢，且阿信从任意一节车厢上车的机会相等，小怡从任意一节车厢上车的机会相等，则两人从同一节车厢上车的概率为何（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{25}$

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9. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（　　）

A、∠CAD＝40° B、∠ACD＝70° C、点D为△ABC的外心 D、∠ACB＝90°

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10. 在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B=60°，BC=2cm，动点E从点A出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D﹣C﹣B运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，则y与x的图象大致为（　　）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 若x= $\sqrt{2}$ -1，则x²+2x+1=.

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12. 已知反比例函数y= $\frac{m - 2}{x}$ ，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是．

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13. 关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 5 > 1 \\ 5 x - a \leq 12 \end{array}$ 有2个整数解，则a的取值范围是.

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14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝ $\sqrt{3}$ ，分别以点A，B为圆心，AC，BC的长为半径画弧，交AB于点D，E，则图中阴影部分的面积是．

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15. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为．

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 1}$ ÷（ $\frac{3}{x + 1}$ ﹣x+1），其中x=sin30°+2^﹣¹+ $\sqrt{4}$ ．

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17. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O与点E，连接BE，CE.

(1)、求证：△ABE≌△CDE；

(2)、填空：
①当∠ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形；

②若AE＝ $\sqrt{3}$ ，AB＝2 $\sqrt{2}$ ，则DE的长为．

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18. 为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A．由父母一方照看；B．由爷爷奶奶照看；C．由叔姨等近亲照看；D．直接寄宿学校．某数学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图．

(1)、该班共有名留守学生，B类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为；

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、已知该校共有2400名学生，现学校打算对D类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？

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19. 如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距BC为50米，在乙楼顶部A点测得甲楼顶部D点的仰角为37°，在乙楼底部B点测得甲楼顶部D点的仰角为60°，则甲、乙两楼的高度分别为多少？(结果精确到1米，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， $\sqrt{3}$ ≈1.73)

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20. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （x＜0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D．若点D的坐标为（﹣4，n），且AD=3．

(1)、求反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 的表达式；

(2)、求经过C、D两点的直线所对应的函数解析式；

(3)、设点E是线段CD上的动点（不与点C、D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．

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21. 当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．

(1)、直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量 $y$ （本）与销售单价 $x$ （元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．

(2)、书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠 $a (0 < a \leq 6)$ 元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求 $a$ 的值．

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22. 在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）

(1)、小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．
请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为．

(2)、在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；

(3)、在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=2．请直接写出线段BE的长为．

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23. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C，且过点 $D (2 ， - 3)$ ．点P、Q是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上的动点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点P在直线OD下方时，求 $Δ P O D$ 面积的最大值．

(3)、直线OQ与线段BC相交于点E，当 $Δ O B E$ 与 $Δ A B C$ 相似时，求点Q的坐标．

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年龄/岁	13	14	15	16
频数	5	15	x