2017年江苏省盐城市东台市高考数学模拟试卷（5月份）

试卷更新日期：2017-08-12 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，集合B={1，2}，则A∩B= ．

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2. 已知复数z= $\frac{3 - i}{1 + i}$ （i是虚数单位），则z的实部是．

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3. 从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140）内的学生人数为．

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4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．

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5. 从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．

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6. 函数f（x）=ln（x﹣e）的定义域为．

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7. 三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是．

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8. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，直线l：y= $\frac{1}{3}$ x与椭圆E相交于A，B两点，AB=2 $\sqrt{10}$ ，则椭圆的标准方程为．

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9. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 单位后，得到的图象解析式为．

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10. 若函数f（x）= ${\begin{matrix} x + 2^{x} ， x \leq 0 \\ \frac{x}{a} - l n x ， x > 0 \end{matrix}$ ，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为．

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11. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F 是AD 上的两个三等分点． $\vec{B E} \cdot \vec{C E} = 2$ ，BC=2，则 $\vec{B F} \cdot \vec{C F}$ = ．

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12. 已知圆C：（x﹣2）²+y²=1，点P在直线l：x+y+1=0上，若过点P存在直线m与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，则点P横坐标x₀的取值范围是．

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13. 设正项等比数列{a_n}首项a₁=2，前n项和为S_n ，且满足2a₃+S₂=4，则满足 $\frac{66}{65}$ ＜ $\frac{S_{2 n}}{S_{n}}$ ＜ $\frac{16}{15}$ 的最大正整数n的值为．

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14. 在锐角三角形ABC中，c=asinB．则实数sinC的最大值是．

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二、解答题

15. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a=4bcosC， $s i n C = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

(1)、求角B 的值；

(2)、若 $b = \sqrt{5}$ ，求三角形ABC 的面积．

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16.
如图直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁ 中AC=2AA₁ ， AC⊥BC，D、E 分别为A₁C₁、AB 的中点．求证：

(1)、AD⊥平面BCD

(2)、A₁E∥平面BCD．

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17. 如图，一个圆心角为直角的扇形AOB 花草房，半径为1，点P 是花草房弧上一个动点，不含端点，现打算在扇形BOP 内种花，PQ⊥OA，垂足为Q，PQ 将扇形AOP
分成左右两部分，在PQ 左侧部分三角形POQ 为观赏区，在PQ 右侧部分种草，已知种花的单位面积的造价为3a，种草的单位面积的造价为2a，其中a 为正常数，设∠AOP=θ，种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，设总造价为f（θ）

(1)、求f（θ）关于θ 的函数关系式；

(2)、求当θ 为何值时，总造价最小，并求出最小值．

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18. 在直角坐标系xOy 中，F，A，B 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点、右顶点和上顶点，若 $O F = F A ， S_{△ F A B} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(1)、求a的值；

(2)、过点P（0，2）作直线l 交椭圆于M，N 两点，过M 作平行于x 轴的直线交椭圆于另外一点Q，连接NQ
，求证：直线NQ 经过一个定点．

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19. 已知函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）= $\frac{1}{x}$ +a．

(1)、当a=2 时，求F（x）=f（x）﹣g（x）在（0，2]的最大值；

(2)、讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；

(3)、若f（x）•g（x）≤0 在定义域内恒成立，求实数a的取值集合．

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20. 已知数列{a_n}，{b_n}满足：b_n=a_n₊₁﹣a_n（n∈N^*）．

(1)、若a₁=1，b_n=n，求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若b_n₊₁b_n_﹣₁=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．
（i）记c_n=a_6n_﹣₁（n≥1），求证：数列{c_n}为等差数列；
（ii）若数列{ $\frac{a_{n}}{n}$ }中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a₁应满足的条件．

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21. 在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD²=AB•ED．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A= $[\begin{matrix} 1 & a \\ b & 2 \end{matrix}]$ 对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A^﹣¹ ．

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23. 已知直线 $l ： {\begin{matrix} x = t c o s α + m \\ y = t s i n α \end{matrix}$ （t为参数）恒过椭圆 $C ： {\begin{matrix} x = 5 c o s φ \\ y = 3 s i n φ \end{matrix}$ （φ为参数）在右焦点F．

(1)、求m的值；

(2)、设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．

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24. 已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证： $\frac{1}{4 a}$ + $\frac{1}{18 b}$ + $\frac{1}{108 c}$ ≥ $\frac{1}{9}$ ．

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25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y²=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x₁ ， y₁）到准线l的距离为d，且d=λp（λ＞0）．

(1)、若y₁=d=1，求抛物线的标准方程；

(2)、若 $\vec{A M}$ +λ $\vec{A B}$ = $\vec{0}$ ，求证：直线AB的斜率为定值．

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26. 在自然数列1，2，3，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P_n（k）．

(1)、求P₃（1）

(2)、求 $\sum_{k = 0}^{4}$ P₄（k）；

(3)、证明 $\sum_{k = 0}^{n}$ kP_n（k）=n $\sum_{k = 0}^{n - 1}$ P_n_﹣₁（k），并求出 $\sum_{k = 0}^{n}$ kP_n（k）的值．

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