2017年湖南省衡阳市常宁市高考数学压轴试卷（理科）

试卷更新日期：2017-08-12 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设复数z满足 $\frac{i}{z}$ =1﹣i，则复数z在复平面内的对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合A={y|y=2cos²x﹣1}，B={x|y= $\sqrt{2 x - x^{2}}$ }，则A∪B=（）

A、{x|﹣1≤x≤0} B、{x|0≤x＜1} C、{x|﹣1＜x＜2} D、{x|﹣1≤x≤2}

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3. 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的S的值为（）

A、4 B、﹣5 C、14 D、﹣23

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4. 下列选项中，错误的是（）

A、若p为真，则￢（￢p）也为真 B、若“p∧q为真”，则“p∨q为真”为真命题 C、∃x∈R，使得tanx=2017 D、“2^x＞ $\frac{1}{2}$ ”是“log $_{\frac{1}{2}}$ x＜0”的充分不必要条件

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5. 在如图所示的矩形中随机投掷30000个点，则落在曲线C下方（曲线C为正态分布N（1，1）的正态曲线）的点的个数的估计值为（）

A、4985 B、8185 C、9970 D、24555

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6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为 $\frac{8}{3}$ ，则该几何体的俯视图可以是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设x₀是方程（ $\frac{1}{3}$ ）^x= $\sqrt{x}$ 的解，则x₀所在的范围是（）

A、（0， $\frac{1}{3}$ ） B、（ $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ） C、（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ） D、（ $\frac{2}{3}$ ，1）

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8. 函数f（x）=|x|﹣ $\frac{a}{x}$ （a∈R）的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知奇函数y=f（x），x∈R，a= $\int_{- 2}^{2}$ [f（x）+ $\frac{3}{8}$ x²]dx，则二项式（ $\frac{x}{2}$ ﹣ $\frac{a}{x^{2}}$ ）⁹的展开式的常数项为（）

A、﹣ $\frac{21}{2}$ B、﹣ $\frac{5}{4}$ C、﹣1 D、﹣ $\frac{15}{8}$

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10. 如图，圆锥的高PO= $\sqrt{2}$ ，底面⊙O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则点B到平面PAC的距离（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、1

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11. 已知A是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左顶点，F₁ ， F₂分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△F₁PF₂的重心，若 $\vec{G A}$ =λ $\vec{P F_{1}}$ ，| $\vec{G A}$ |= $\frac{5}{3}$ ，| $\vec{P F_{1}}$ |+| $\vec{P F_{2}}$ |=8，则双曲线的标准方程为（）

A、x²﹣ $\frac{y^{2}}{8}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{16}$ ﹣y²=1 C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12}$ =1 D、x²﹣ $\frac{y^{2}}{4}$ =1

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12. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} x l n x - 2 x ， x > 0 \\ x^{2} + \frac{3}{2} x ， x \leq 0 \end{matrix}$ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{4})$ C、 $(\frac{1}{3} ， 1)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 2)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（x，﹣1），若 $\vec{a}$ ∥（ $\vec{a} - \vec{b}$ ），则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为．

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14. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ l g (y - 1) \leq 0 \\ 2 x - y \leq 2 \end{matrix}$ ，若a＜ $\frac{y}{x + 1}$ 恒成立，则a的取值范围为．

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15. 已知抛物线y²=4x的焦点F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则4|FA|+|FB|的最小值为．

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16. 已知锐角△ABC的外接圆O的半径为1，∠B= $\frac{π}{6}$ ，则 $\vec{B A} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 设数列{a_n}是公差大于0的等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₃=9，且2a₁ ， a₃﹣1，a₄+1构成等比数列．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若数列{b_n}满足 $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ =2ⁿ^﹣¹（n∈N^*），设T_n是数列{b_n}的前n项和，证明：T_n＜6．

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18. 某经销商从外地水产养殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如图：

(1)、记事件A为：“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35g的小龙虾”，求P（A）的估计值；

(2)、若购进这批小龙虾100千克，试估计这批小龙虾的数量；

(3)、为适应市场需求，了解这批小龙虾的口感，该经销商将这40只小龙虾分成三个等级，如下表：
等级
一等品
二等品
三等品
重量（g）
[5，25）
[25，45）
[45，55]
按分层抽样抽取10只，再随机抽取3只品尝，记X为抽到二等品的数量，求抽到二级品的期望．

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19. 如图，AB=BE=BC=2AD=2，且AB⊥BE，∠DAB=60°，AD∥BC，BE⊥AD，
（Ⅰ）求证：面ADE⊥面 BDE；
（Ⅱ）求直线AD与平面DCE所成角的正弦值．．

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）上点P，其左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ， △PF₁F₂的面积的最大值为 $\sqrt{3}$ ，且满足 $\frac{s i n ∠ P F_{1} F_{2} + s i n ∠ P F_{2} F_{1}}{s i n ∠ F_{1} P F_{2}}$ =3

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、若A，B，C，D是椭圆上互不重合的四个点，AC与BD相交于F₁ ，且 $\vec{A C}$ • $\vec{B D}$ =0，求 $\frac{| A C |}{| B D |}$ 的取值范围．

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21. 设函数f（x）=e^x+sinx（e为自然对数的底数），g（x）=ax，F（x）=f（x）﹣g（x）．

(1)、若x=0是F（x）的极值点，且直线x=t（t≥0）分别与函数f（x）和g（x）的图象交于P，Q，求P，Q两点间的最短距离；

(2)、若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（﹣x）的图象上方，求实数a的取值范围．

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22. 已知直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 10 + t \\ y = t \end{matrix}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ²﹣4ρsinθ+2=0．
（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．

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23. 已知函数f（x）=|x+a|+|x+ $\frac{1}{a}$ |（a＞0）

(1)、当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集；

(2)、证明：f（m）+f（﹣ $\frac{1}{m}$ ）≥4．

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等级	一等品	二等品	三等品
重量（g）	[5，25）	[25，45）	[45，55]