2017年云南省保山市腾冲八中高考数学一模试卷

试卷更新日期：2017-08-12 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设全集U=R，A={x|2^x^（^x^﹣²^）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则如图中阴影部分表示的集合为（）

A、{x|x≥1} B、{x|1≤x＜2} C、{x|0＜x≤1} D、{x|x≤1}

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2. 已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设z=x+y，其中实数x，y满足 ${\begin{matrix} x + 2 y \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ 0 \leq y \leq k \end{matrix}$ ，若z的最大值为12，则z的最小值为（）

A、﹣3 B、﹣6 C、3 D、6

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4. 设D为△ABC所在平面内一点， $\vec{B C}$ =3 $\vec{C D}$ ，则（）

A、 $\vec{A D}$ =﹣ $\frac{1}{3} \vec{A B}$ + $\frac{4}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D}$ = $\frac{1}{3} \vec{A B}$ ﹣ $\frac{4}{3} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D}$ = $\frac{4}{3} \vec{A B}$ + $\frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D}$ = $\frac{4}{3} \vec{A B}$ - $\frac{1}{3} \vec{A C}$

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5. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=1， $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ ﹣2 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ C、﹣1 D、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$

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6. 某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{29}$ D、 $\sqrt{13}$

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7. 已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅ ，若存在两项a_m ， a_n使得 $\sqrt{a_{m} a_{n}}$ =4a₁ ，则 $\frac{1}{m}$ + $\frac{4}{n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{25}{6}$

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8. 已知函数f（x）与g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x³﹣2^﹣^x ，则f（2）+g（2）=（）

A、4 B、﹣4 C、2 D、﹣2

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9. 已知数列{a_n}满足： $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，设数列{a_n}的前_n项和为S_n ，则S₂₀₁₇=（）

A、1007 B、1008 C、1009.5 D、1010

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10. 已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（　　）

A、e²⁰¹⁶f（﹣2016）＜f（0），f（2016）＜e²⁰¹⁶f（0） B、e²⁰¹⁶f（﹣2016）＞f（0），f（2016）＞e²⁰¹⁶f（0） C、e²⁰¹⁶f（﹣2016）＜f（0），f（2016）＞e²⁰¹⁶f（0） D、e²⁰¹⁶f（﹣2016）＞f（0），f（2016）＜e²⁰¹⁶f（0）

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11. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个互相垂直的单位向量，且 $\vec{c}$ • $\vec{a}$ = $\vec{c}$ • $\vec{b}$ =1，则对任意的正实数t，| $\vec{c}$ +t $\vec{a}$ + $\frac{1}{t} \vec{b}$ |的最小值是（）

A、2 B、2 $\sqrt{2}$ C、4 D、4 $\sqrt{2}$

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12. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} | l o g_{2} x | ， 0 < x < 2 \\ s i n (\frac{π}{4} x) ， 2 \leq x \leq 10 \end{matrix}$ ，若存在实数x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄ ，满足x₁＜x₂＜x₃＜x₄ ，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），则 $\frac{(x_{3} - 2) \cdot (x_{4} - 2)}{x_{1} \cdot x_{2}}$ 的取值范围是（）

A、（0，12） B、（4，16） C、（9，21） D、（15，25）

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二、填空题

13. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} l o g_{4} x ， x > 0 \\ 3^{x} ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，则f[f（ $\frac{1}{16}$ ）]= ．

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14. 在△ABC中，不等式 $\frac{1}{A} + \frac{1}{B}$ + $\frac{1}{C}$ ≥ $\frac{9}{π}$ 成立；在四边形ABCD中，不等式 $\frac{1}{A}$ + $\frac{1}{B}$ + $\frac{1}{C}$ + $\frac{1}{D}$ ≥ $\frac{16}{2 π}$ 成立成立；在五边形ABCDE中，不等式 $\frac{1}{A}$ + $\frac{1}{B}$ + $\frac{1}{C}$ + $\frac{1}{D}$ + $\frac{1}{E}$ ≥ $\frac{25}{3 π}$ 成立…，依此类推，在n边形A₁A₂…A_n中，不等式不等式 $\frac{1}{A_{1}} + \frac{1}{A_{2}} + \dots + \frac{1}{A_{n}}$ ≥成立．

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15. 已知函数f（x）=x³+3x对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x∈ ．

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16. 已知 $a_{n} = \int_{0}^{n} (2 x + 1) d x$ ，数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和为S_n ，数列{b_n}的通项公式为b_n=n﹣8，则b_nS_n的最小值为．

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三、解答题

17. 如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA= $\frac{12}{13}$ ，cosC= $\frac{3}{5}$ ．

(1)、求索道AB的长；

(2)、问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

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18. 根据微信同程旅游的调查统计显示，参与网上购票的1000位购票者的年龄（单位：岁）情况如图所示．

(1)、已知中间三个年龄段的网上购票人数成等差数列，求a，b的值；

(2)、为鼓励大家网上购票，该平台常采用购票就发放酒店入住代金券的方法进行促销，具体做法如下：年龄在[30，50）岁的每人发放20元，其余年龄段的每人发放50元，先按发放代金券的金额采用分层抽样的方式从参与调查的1000位网上购票者中抽取5人，并在这5人中随机抽取3人进行回访调查，求此3人获得代金券的金额总和为90元的概率．

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19. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁= $\frac{1}{2}$ ，S_n=n²a_n﹣n（n﹣1），n=1，2，…

(1)、证明：数列{ $\frac{n + 1}{n}$ S_n}是等差数列，并求S_n；

(2)、设b_n= $\frac{S n}{n^{3} + 3 n^{2}}$ ，求证：b₁+b₂+…+b_n＜ $\frac{5}{12}$ ．

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20. 如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2 $\sqrt{2}$ ，BC=4 $\sqrt{2}$ ，PA=2．

(1)、求证：AB⊥PC；

(2)、在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．

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21. 已知函数f（x）=e^x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．

(1)、求a的值及函数f（x）的极值；

(2)、证明：当x＞0时，x²＜e^x；

(3)、证明：对任意给定的正数c，总存在x₀ ，使得当x∈（x₀ ， +∞）时，恒有x＜ce^x ．

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22. 已知函数f（x）=|x﹣a|，不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

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