2017年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）

试卷更新日期：2017-08-12 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知全集U=R，A={x|x²﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∪（∁_UB）=（）

A、（0，+∞） B、（﹣∞，1） C、（﹣∞，2） D、（0，1）

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2. 已知i是虚数单位，则| $\frac{2 i}{1 + i}$ |=（）

A、1 B、2 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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3. 某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是（）

A、 $\frac{14}{15}$ B、 $\frac{1}{15}$ C、. $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁+2a₂=4，a₄²=4a₃a₇ ，则a₅=（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{16}$ C、20 D、40

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5. 已知正方形ABCD的边长为6，M在边BC上且BC=3BM，N为DC的中点，则 $\vec{A M} \cdot \vec{B N}$ =（）

A、﹣6 B、12 C、6 D、﹣12

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6. 在如图所示的程序框图中，若函数f（x）= ${\begin{matrix} l o g_{\frac{1}{2}} (- x) (x < 0) \\ 2^{x} (x \geq 0) \end{matrix}$ ，则输出的结果是（）

A、16 B、8 C、2¹⁶ D、2⁸

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7. 已知函数f（x）=4cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，A（a，0），B（b，0）是其图象上两点，若|a﹣b|的最小值是1，则f（ $\frac{1}{6}$ ）=（）

A、2 B、﹣2 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱，已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（）

A、50 B、75 C、25.5 D、37.5

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9. 已知函数f（x）= $\frac{1}{2}$ mcos2x+（m﹣2）sinx，其中1≤m≤2，若函数f（x）的最大值记为g（m），则g（m）的最小值为（）

A、﹣ $\frac{1}{4}$ B、1 C、3﹣ $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$ ﹣1

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10. 已知F是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为其左、右顶点．O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|=2|ON|，则双曲线的离心率为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11. 三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是（）

A、2π B、4π C、8π D、16π

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12. 已知函数f（x）=2lnx﹣ax²+3，若存在实数m、n∈[1，5]满足n﹣m≥2时，f（m）=f（n）成立，则实数a的最大值为（）

A、 $\frac{l n 5 - l n 3}{8}$ B、 $\frac{l n 3}{4}$ C、 $\frac{l n 5 + l n 3}{8}$ D、 $\frac{l n 4}{3}$

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二、填空题

13. 若实数x、y满足 ${\begin{matrix} y \geq 0 \\ x - 2 y \geq 2 \\ x + y \leq 5 \end{matrix}$ ，则x+2y的最小值是．

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14. 过定点M的直线：kx﹣y+1﹣2k=0与圆：（x+1）²+（y﹣5）²=9相切于点N，则|MN|= ．

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15. 已知（2x²+x﹣y）ⁿ的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x⁵y²的系数为．（用数字作答）

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16. 设公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若a₂ ， a₅ ， a₁₁成等比数列，且a₁₁=2（S_m﹣S_n）（m＞n＞0，m，n∈N*），则m+n的值是．

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三、解答题

17. 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（a+c）²=b²+3ac．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2，且sinB+sin（C﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．

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18. 共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示，若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁～39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”，已知在“经常使用单车用户”中有 $\frac{5}{6}$ 是“年轻人”．
（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2×2列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？
使用共享单车情况与年龄列联表

年轻人
非年轻人
合计
经常使用共享单车用户

120
不常使用共享单车用户

80
合计
160
40
200
（Ⅱ）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布列与期望．
（参考数据：
P（K²≥k₀）
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
k₀
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中，K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，n=a+b+c+d）

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19. 已知矩形ADEF和菱形ABCD所在平面互相垂直，如图，其中AF=1，AD=2，∠ADC= $\frac{π}{3}$ ，点N时线段AD的中点．
（Ⅰ）试问在线段BE上是否存在点M，使得直线AF∥平面MNC？若存在，请证明AF∥平面MNC，并求出 $\frac{B M}{M E}$ 的值，若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求二面角N﹣CE﹣D的正弦值．

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20. 已知点E（﹣2，0），点P时圆F：（x﹣2）²+y²=36上任意一点，线段EP的垂直平分线交FP于点M，点M的轨迹记为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过F的直线交曲线C于不同的A、B两点，交y轴于点N，已知 $\vec{N A}$ =m $\vec{A F}$ ， $\vec{N B}$ =n $\vec{B F}$ ，求m+n的值．

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21. 函数p（x）=lnx+x﹣4，q（x）=axe^x（a∈R）．
（Ⅰ）若a=e，设f（x）=p（x）﹣q（x），试证明f′（x）存在唯一零点x₀∈（0， $\frac{1}{e}$ ），并求f（x）的最大值；
（Ⅱ）若关于x的不等式|p（x）|＞q（x）的解集中有且只有两个整数，求实数a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 1 + \sqrt{3} c o s α \\ y = \sqrt{3} s i n α \end{matrix}$ （α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=1．
（Ⅰ）分别写出C₁的极坐标方程和C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若射线l的极坐标方程θ= $\frac{π}{3}$ （ρ≥0），且l分别交曲线C₁、C₂于A、B两点，求|AB|．

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23. 已知函数f（x）=|3x﹣a|+|3x﹣6|，g（x）=|x﹣2|+1．
（Ⅰ）a=1时，解不等式f（x）≥8；
（Ⅱ）若对任意x₁∈R都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

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	年轻人	非年轻人	合计
经常使用共享单车用户			120
不常使用共享单车用户			80
合计	160	40	200

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.050	0.025	0.010
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635