2017年四川省眉山市仁寿一中高考数学三模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-08-12 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知全集U={1，2，3，4，5}，M={3，4，5}，N={2，3}，则集合（∁_UN）∩M=（）

A、{2} B、{1，3} C、{2，5} D、{4，5}

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2. 已知i是虚数单位，复数 $\frac{1 + i}{{(1 - i)}^{2}}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ i D、﹣ $\frac{1}{2}$ i

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3. 已知两条直线m，n和两个不同平面α，β，满足α⊥β，α∩β=l，m∥α，n⊥β，则（）

A、m∥n B、m⊥n C、m∥l D、n⊥l

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4. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）

A、4 B、5 C、2 D、3

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5. 函数 f（x）= $\frac{x^{3} - 3}{e^{x}}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 记等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S₃=2，S₆=18，则 $\frac{S_{10}}{S_{5}}$ 等于（）

A、﹣3 B、5 C、﹣31 D、33

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7. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 已知圆C：（x﹣ $\sqrt{3}$ ）²+（y﹣1）²=1和两点A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则当t取得最大值时，点P的坐标是（）

A、（ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ） B、（ $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ， $\frac{3}{2}$ ） C、（ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ） D、（ $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{3}{2}$ ）

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9. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ $\frac{π}{2}$ ＜φ＜ $\frac{π}{2}$ ），A（ $\frac{1}{3}$ ，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，则f（x）的单调递增区间是（）

A、（2k﹣ $\frac{2}{3}$ ，2k+ $\frac{4}{3}$ ），k∈Z B、（2kπ﹣ $\frac{2}{3}$ π，2kπ+ $\frac{4}{3}$ π），k∈Z C、（4k﹣ $\frac{2}{3}$ ，4k+ $\frac{4}{3}$ ），k∈Z D、（4kπ﹣ $\frac{2}{3}$ π，4kπ+ $\frac{4}{3}$ π），k∈Z

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10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{8}{3}$ +8π B、 $\frac{16}{3}$ +8π C、 $\frac{8}{3}$ +16π D、 $\frac{16}{3}$ +16π

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11. 已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂ ， |F₁F₂|=6，P是E右支上一点，PF₁与y轴交于点A，△PAF₂的内切圆在边AF₂上的切点为Q，若|AQ|= $\sqrt{3}$ ，则E的离心率是（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），f（0）=0．若对任意x∈R，都有f（x）＞f′（x）+1，则使得f（x）+e^x＜1成立的x的取值范围为（）

A、（﹣∞，0） B、（﹣∞，1） C、（﹣1，+∞） D、（0，+∞）

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二、填空题

13. 若不等式组满足 ${\begin{matrix} 2 x - y + 1 \geq 0 \\ x - 2 y + 2 \leq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \end{matrix}$ ，则z=2x+y的最大值为．

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14. 在 ${(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{4}$ 的展开式中，x的系数为．（用数字作答）

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15. △ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2 $\vec{O A}$ + $\vec{A B}$ + $\vec{A C}$ = $\vec{0}$ ，且| $\vec{O A}$ |=| $\vec{A B}$ |，则向量 $\vec{C A}$ 在 $\vec{C B}$ 方向上的投影．

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16. S_n为数列{a_n}的前n项和，已知 $a_{n} > 0 ， 4 S_{n} = (a_{n} + 3) (a_{n} - 1) ， (n \in N^{*})$ ．则{a_n}的通项公式a_n= ．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A﹣cos2B=2cos（A﹣ $\frac{π}{6}$ ）cos（A+ $\frac{π}{6}$ ）．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若b= $\sqrt{3}$ ≤a，求2a﹣c的取值范围．

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18. 由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如图：
（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；
（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．

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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为 3 的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=3，F 是棱 PA上的一个动点，E为PD的中点．
（Ⅰ）若 AF=1，求证：CE∥平面 BDF；
（Ⅱ）若 AF=2，求平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）经过点（1， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ），离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P（x₁ ， y₁），Q（x₂ ， y₂）．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）当 $\vec{A P}$ ⊥ $\vec{A Q}$ =0时，求△OPQ面积的最大值．

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21. 设f（x）=xe^x（e为自然对数的底数），g（x）=（x+1）² ．
（Ⅰ）记 $F (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ ，讨论函数F（x）的单调性；
（Ⅱ）令G（x）=af（x）+g（x）（a∈R），若函数G（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

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22. 以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{1}{2} + t c o s α \\ y = t s i n α \end{matrix} (t 为参数， 0 < α < π)$ ，曲线C的极坐标方程为 $ρ = \frac{2 c o s θ}{s i n^{2} θ}$

(1)、求曲线C的直角坐标方程；

(2)、设直线A与曲线C相交于A，B两点，已知定点P（ $\frac{1}{2}$ ，0），当α= $\frac{π}{3}$ 时，求|PA|+|PB|的值．

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23. 设函数f（x）=|x﹣ $\frac{4}{m}$ |+|x+m|，（m＞0）
（I）证明：f（x）≥4
（II）若f（1）＞5，求m的取值范围．

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