2017年陕西省宝鸡市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-08-12 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设复数z= $\frac{1 + 2 i}{{(1 - i)}^{2}}$ ，则z的虚部是（）

A、 $\frac{1}{2}$ i B、 $\frac{1}{2}$ C、﹣ $\frac{1}{2}$ D、﹣ $\frac{1}{2}$ i

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2. 如图，已知R是实数集，集合A={x|log $_{_{\frac{1}{2}}}$ （x﹣1）＞0}，B={x| $\frac{2 x - 3}{x}$ ＜0}，则阴影部分表示的集合是（）

A、[0，1] B、[0，1） C、（0，1） D、（0，1]

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3. 在△ABC中，P、Q分别在AB，BC上，且 $\vec{A P}$ = $\frac{1}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{B Q}$ = $\frac{1}{3} \vec{B C}$ ，若 $\vec{A B}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{A C}$ = $\vec{b}$ ，则 $\vec{P Q}$ =（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a}$ + $\frac{1}{3} \vec{b}$ B、﹣ $\frac{1}{3} \vec{a}$ + $\frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a}$ ﹣ $\frac{1}{3} \vec{b}$ D、﹣ $\frac{1}{3} \vec{a}$ ﹣ $\frac{1}{3} \vec{b}$

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4. 下列命题中正确命题的个数是（）
①对于命题p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x²+x+1＞0；
②命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；
③回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为 $\hat{y}$ =1.23x+0.08；
④m=3是直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直的充要条件．

A、1 B、3 C、2 D、4

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5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为（ $\frac{3}{5}$ ， $\frac{4}{5}$ ）和（﹣ $\frac{4}{5}$ ， $\frac{3}{5}$ ），则cos（α+β）的值为（）

A、﹣ $\frac{24}{25}$ B、﹣ $\frac{7}{25}$ C、0 D、 $\frac{24}{25}$

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6. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

A、 $\frac{19}{20}$ B、 $\frac{20}{21}$ C、 $\frac{21}{22}$ D、 $\frac{22}{23}$

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7. 已知直线l：kx﹣y﹣3=0与圆O：x²+y²=4交于A、B两点且 $\vec{O A}$ • $\vec{O B}$ =2，则k=（）

A、2 B、± $\sqrt{2}$ C、±2 D、 $\sqrt{2}$

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8. 已知a、b∈{2，3，4，5，6，7，8，9}，则log_ab的不同取值个数为（）

A、53 B、56 C、55 D、57

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9. 在2013年至2016年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期，到2017年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（）

A、m（1+q）⁴元 B、m（1+q）⁵元 C、 $\frac{m [(1 + q)^{4} - (1 + q)]}{q}$ 元 D、 $\frac{m [(1 + q)^{5} - (1 + q)]}{q}$ 元

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10. 在区间[0，2]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，2]的概率是（）

A、 $\frac{1 - l n 2}{2}$ B、 $\frac{3 - 2 l n 2}{4}$ C、 $\frac{1 + l n 2}{2}$ D、 $\frac{1 + 2 l n 2}{2}$

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11. 若曲线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点，且C₁与C₂交点的连线过点F，则曲线C₂的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$

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12. 已知定义在R上的函数y=f（x）满足：①对于任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2）；②函数y=f（x+2）是偶函数；③当x∈（0，2]时，f（x）=e^x﹣ $\frac{1}{x}$ ，a=f（﹣5），b=f（ $\frac{19}{2}$ ）．c=f（ $\frac{41}{4}$ ），则a，b，c的大小关系是（）

A、a＜b＜c B、c＜b＜a C、c＜a＜b D、b＜a＜c

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二、填空题

13. 在平面四边形ABCD中，已知 $\vec{A C} = (1 ， 3) ， \vec{B D} = (9 ， - 3)$ ，则四边形ABCD的面积为．

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14. 在等差数列{a_n}中，a₁=2017，其前n项和为S_n ，若 $\frac{S_{2013}}{2013}$ ﹣ $\frac{S_{2011}}{2011}$ =2，则S₂₀₁₇= ．

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15. 如图为某几何体的三视图，则其体积为．

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16. 有限与无限转化是数学中一种重要思想方法，如在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如 $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}$ 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x．这可以通过方程 $\sqrt{2 + x}$ =x确定出来x=2，类似地可以把循环小数化为分数，把0. $\overset{\cdot}{3} \overset{\cdot}{6}$ 化为分数的结果为．

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三、解答题

17. 已知函数f（x）=sin（2x﹣ $\frac{π}{6}$ ）+2cos²x﹣1（x∈R）．

(1)、求f（x）的单调递增区间；

(2)、在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）= $\frac{1}{2}$ ，b，a，c成等差数列，且 $\vec{A B}$ • $\vec{A C}$ =9，求a的值．

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18. 某市对贫困家庭自主创业给予小额贷款补贴，每户贷款为2万元，贷款期限有6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，这五种贷款期限政府分别需要补助200元、300元、300元、400元，从2016年享受此项政策的困难户中抽取了100户进行了调查，选取贷款期限的频数如表：
贷款期限
6个月
12个月
18个月
24个月
36个月
频数
20
40
20
10
10
以上表各种贷款期限频率作为2017年贫困家庭选择各种贷款期限的概率．

(1)、某小区2017年共有3户准备享受此项政策，计算其中恰有两户选择贷款期限为12个月的概率；

(2)、设给享受此项政策的某困难户补贴为ξ元，写出ξ的分布列，若预计2017年全市有3.6万户享受此项政策，估计2017年该市共需要补贴多少万元．

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19. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角H﹣BD﹣C的大小．

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20. 已知F₁ ， F₂为椭圆E的左右焦点，点P（1， $\frac{3}{2}$ ）为其上一点，且有|PF₁|+|PF₂|=4
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过F₁的直线l₁与椭圆E交于A，B两点，过F₂与l₁平行的直线l₂与椭圆E交于C，D两点，求四边形ABCD的面积S_ABCD的最大值．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{a l n x}{x}$ +b（a，b∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．

(1)、求实数a，b的值及函数f（x）的单调区间．

(2)、当f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）时，比较x₁+x₂与2e（e为自然对数的底数）的大小．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知C₁： ${\begin{matrix} x = c o s θ \\ y = s i n θ \end{matrix}$ （θ为参数），将C₁上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 $\sqrt{2}$ 和2倍后得到曲线C₂以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（ $\sqrt{2}$ cosθ+sinθ）=4

(1)、试写出曲线C₁的极坐标方程与曲线C₂的参数方程；

(2)、在曲线C₂上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．

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23. 已知a和b是任意非零实数．

(1)、求 $\frac{| 2 a + b | + | 2 a - b |}{| a |}$ 的最小值．

(2)、若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．

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贷款期限	6个月	12个月	18个月	24个月	36个月
频数	20	40	20	10	10