2017年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-08-12 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知i是虚数单位，复数z满足 $\frac{z}{2 + z} = i$ ，则复数z在复平面内对应的点的坐标是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ B、（﹣1，1） C、 $(\frac{1}{2} ， - \frac{1}{2})$ D、（1，﹣1）

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2. 已知全集U=R，集合A={x|x（x+2）＜0}，B={x||x|≤1}，则如图阴影部分表示的集合是（）

A、（﹣2，1） B、[﹣1，0]∪[1，2） C、（﹣2，﹣1）∪[0，1] D、[0，1]

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3. 已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X≥4）=0.1587，则P（2＜X＜4）=（）

A、0.6826 B、0.3413 C、0.4603 D、0.9207

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4. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1+ $\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}$ 中“…”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+ $\frac{1}{x}$ =x求得x= $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ．类比上述过程，则 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{\dots}}}$ =（）

A、3 B、 $\frac{\sqrt{13} + 1}{2}$ C、6 D、2 $\sqrt{2}$

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5. 执行所示的程序框图，如果输入a=3，那么输出的n的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点P是△ABC内一点（含边界），若 $\vec{A P} = \frac{2}{3} \vec{A B} + λ \vec{A C}$ ，则| $\vec{A P}$ |的取值范围为（）

A、[2， $\frac{2 \sqrt{10 + 3 \sqrt{3}}}{3}$ ] B、[2， $\frac{8}{3}$ ] C、[0， $\frac{2 \sqrt{13}}{3}$ ] D、[2， $\frac{2 \sqrt{13}}{3}$ ]

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7. 已知某产品的广告费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）具有线性关系关系，其统计数据如下表：
x
3
4
5
6
y
25
30
40
45
由上表可得线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ ，据此模型预报广告费用为8万元时的销售额是（）
附： $\hat{b}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) \cdot (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(\bar{x})}^{2}}$ ； $\hat{a}$ = $\hat{y}$ ﹣ $\hat{b}$ x．

A、59.5 B、52.5 C、56 D、63.5

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8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{21}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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9. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，点（n，Sn+3）（n∈N^*）在函数y=3×2^x的图象上，等比数列{b_n}满足b_n+b_n₊₁=a_n（n∈N^*）．其前n项和为T_n ，则下列结论正确的是（）

A、S_n=2T_n B、T_n=2b_n+1 C、T_n＞a_n D、T_n＜b_n₊₁

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10. 已知函数f（x）是偶函数，f（x+1）是奇函数，且对任意的x₁ ， x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂ ，都有（x₁﹣x₂）[f（x₁）﹣f（x₂）]＜0，设a=f（ $\frac{82}{11}$ ），b=﹣f（ $\frac{50}{9}$ ），c=f（ $\frac{24}{7}$ ），则下列结论正确的是（）

A、a＞b＞c B、b＞a＞c C、b＞c＞a D、c＞a＞b

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11. 已知实数x，y满足条件 ${\begin{matrix} 4 x - y - 8 \leq 0 \\ 2 x - 3 y + 6 \geq 0 \\ x + y - 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，若x²+2y²≥m恒成立，则实数m的最大值为（）

A、5 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{8}{3}$

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12. 已知点P在抛物线y²=x上，点Q在圆（x+ $\frac{1}{2}$ ）²+（y﹣4）²=1上，则|PQ|的最小值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2} - 1$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} - 1$ C、 $2 \sqrt{3} - 1$ D、 $\sqrt{10} - 1$

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二、填空题

13. 现采取随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示集中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该运动员射击四次至少击中三次的概率为：．

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14. $_{}^{} \int_{- 1}^{1}(\sqrt{1 - x^{2}} + s i n x) d x$
= ．

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15. 在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=90°，点D在AB上，点E在CD上，且∠ACB=∠DBE=∠DEB，则DC= ．

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16. 已知过点A（﹣2，0）的直线与x=2相交于点C，过点B（2，0）的直线与x=﹣2相交于点D，若直线CD与圆x²+y²=4相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为．

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三、解答题

17. 已知 $\vec{m}$ =（ $\sqrt{3}$ sin $\frac{x}{3}$ ，cos $\frac{x}{3})$ ， $\vec{n}$ =（cos $\frac{x}{3}$ ，cos $\frac{x}{3}$ ），f（x）= $\vec{m}$ • $\vec{n}$ ．

(1)、若函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且a=2，（2a﹣b）cosC=ccosB， $f (A) = \frac{3}{2}$ ，求c．

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18. 网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图．这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁．

(1)、根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？
网购迷
非网购迷
合计
年龄不超过40岁

年龄超过40岁
合计

(2)、若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄丑啊过40岁的市民人数ξ的分布列与期望．
附： $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ；
P（K²≥k₀）
0.15
0.10
0.05
0.01
k₀
2.072
2.706
3.841
6.635

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19. 如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，∠A₁AC=60°，AC=2AA₁=4，点D，E分别是AA₁ ， BC的中点．

(1)、证明：DE∥平面A₁B₁C；

(2)、若AB=2，∠BAC=60°，求直线DE与平面ABB₁A₁所成角的正弦值．

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20. 已知动点C到点F（1，0）的距离比到直线x=﹣2的距离小1，动点C的轨迹为E．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、若直线l：y=kx+m（km＜0）与曲线E相交于A，B两个不同点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 5$ ，证明：直线l经过一个定点．

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21. 已知函数f（x）=x²﹣2x+1，g（x）=2aln（x﹣1）（a∈R）．

(1)、求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的极值；

(2)、当a＞0时，若存在实数k，m使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + 2 c o s φ \\ y = 2 s i n φ \end{matrix}$ （φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4sinθ
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线C₃的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C₃与C₁的交点，点B是曲线C₃与C₂的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4 $\sqrt{2}$ ，求实数a的值．

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23. 已知函数f（x）=2|x+a|+|x﹣ $\frac{1}{a}$ |（a≠0）．

(1)、当a=1时，解不等式f（x）＜4；

(2)、求函数g（x）=f（x）+f（﹣x）的最小值．

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	网购迷	非网购迷	合计
年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.01
k₀	2.072	2.706	3.841	6.635