2017年山东省潍坊市诸城市高考数学模拟试卷（理科）

试卷更新日期：2017-08-12 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 若复数z满足2z+ $\bar{z}$ =3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）

A、1+2i B、1﹣2i C、﹣1+2i D、﹣1﹣2i

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2. 设集合A={y|y=2^x ， x∈R}，B={x|x²﹣1＜0}，则A∪B=（）

A、（﹣1，1） B、（0，1） C、（﹣1，+∞） D、（0，+∞）

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3. 二项式（x﹣ $\frac{1}{x}$ ）⁶的展开式中x^﹣²的系数为（）

A、6 B、15 C、20 D、28

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4. 已知圆C：（x﹣1）²+（y﹣3）²=2被y轴截得的线段AB与被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度相等，则b等于（）

A、± $\sqrt{5}$ B、± $\sqrt{10}$ C、±2 $\sqrt{5}$ D、± $\sqrt{30}$

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5. 甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，设s₁ ， s₂分别表示甲、乙两名运动员成绩的标准差， $\bar{x_{1}}$ 、 $\bar{x_{2}}$ 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）

A、 $\bar{x_{1}} < \bar{x_{2}}$ ，s₁＜s₂ B、 $\bar{x_{1}} > \bar{x_{2}}$ ，s₁＜s₂ C、 $\bar{x_{1}} > \bar{x_{2}}$ ，s₁＞s₂ D、 $\bar{x_{1}} < \bar{x_{2}}$ ，s₁＞s₂

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6. 已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 函数f（x）=（ $\sqrt{3}$ sinx+cosx）（ $\sqrt{3}$ cosx﹣sinx）的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、π C、 $\frac{3 π}{2}$ D、2π

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8. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} x \geq 1 \\ x - 2 y + m \geq 0 \\ x - y \leq 0 \end{matrix}$ ，若z=4x﹣y的最大值是最小值的15倍，则m等于（）

A、5 B、 $\frac{33}{5}$ C、7 D、15

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9. 若函数f（x）= $\sqrt{2}$ sin（2x+φ）（|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的图象关于直线x= $\frac{π}{12}$ 对称，且当x₁ ， x₂∈（﹣ $\frac{17 π}{12}$ ，﹣ $\frac{2 π}{3}$ ），x₁≠x₂时，f（x₁）=f（x₂），则f（x₁+x₂）等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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10. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y²=﹣2px（p＞0）的焦点F与双曲线x²﹣8y²=8的左焦点重合，点A在抛物线上，且|AF|=6，若P是抛物线准线上一动点，则|PO|+|PA|的最小值为（）

A、3 $\sqrt{5}$ B、4 $\sqrt{3}$ C、3 $\sqrt{7}$ D、3 $\sqrt{13}$

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二、填空题

11. 执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．

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12. 记[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为．

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13. 在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=60°， $\vec{D E}$ =t $\vec{D C}$ （0≤t≤1），且 $\vec{A E}$ • $\vec{B D}$ =﹣1，则t= ．

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14. 在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）²+y²=9相交”发生的概率为．

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15. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} | x | ， x \leq m \\ x^{2} - 2 m x + 4 m ， x > m \end{matrix}$ ，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．

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三、解答题

16. =在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）= $\frac{t a n A}{c o s B}$ + $\frac{t a n B}{c o s A}$ ．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．

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17. 如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ= $\frac{1}{2}$ AB．

(1)、证明：平面APD⊥平面BDP；

(2)、求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．

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18. 已知数列{a_n}满足： $\frac{1}{a_{1}}$ + $\frac{1}{a_{2}}$ +…+ $\frac{1}{a_{n}}$ = $\frac{n^{2}}{2}$ （n∈N^*）．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若b_n=a_na_n₊₁ ， S_n为数列{b_n}的前n项和，对于任意的正整数n，S_n＞2λ﹣ $\frac{1}{3}$ 恒成立，求实数λ的取值范围．

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19. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率是 $\frac{2}{3}$ ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．

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20. 已知f（x）=a（x﹣lnx）+ $\frac{2 x - 1}{x^{2}}$ ，a∈R．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+ $\frac{3}{2}$ 对于任意的x∈[1，2]成立．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{m \sqrt{x} + l n x}{x}$ （x＞0），m∈R．

(1)、若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围；

(2)、若函数f（x）的图象在点（1，f（x））处的切线的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，且函数f（x）的最大值为M，求证：1＜M＜ $\frac{3}{2}$ ．

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