2017年山东省潍坊市高考数学三模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-08-12 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）= $\frac{1}{\sqrt{l n x - 1}}$ 的定义域为A，则∁_UA为（）

A、（0，e] B、（0，e） C、（e，+∞） D、[e，+∞）

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2. 设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（）

A、﹣1+i B、﹣1﹣i C、1+i D、1﹣i

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3. 若随机变量X服从正态分布N（4，1），则P（x＞6）的值为（）（参考数据：若随机变量X～N（μ，σ²），则P（μ﹣σ＜x＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜x＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜x＜μ+3σ）=0.9974）

A、0.1587 B、0.0228 C、0.0013 D、0.4972

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4. 已知a∈R，则“a＜0”是“|x|+|x+1|＞a恒成立”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 执行如图所示的程序框图，输出n的值为（）

A、19 B、20 C、21 D、22

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6. 一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（）

A、056，080，104 B、054，078，102 C、054，079，104 D、056，081，106

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7. 若直线x= $\frac{5}{4}$ π和x= $\frac{9}{4}$ π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

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8. 如果实数x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} 3 x + y - 6 \leq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \\ x \geq 1 \end{matrix}$ ，则z= $\frac{y + 1}{x + 1}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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9. 函数f（x）= ${\begin{matrix} - x - 1 ， x < 1 \\ {(\frac{1}{2})}^{x - 1} ， x \geq 1 \end{matrix}$ 的图象与函数g（x）=log₂（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）

A、a＞1 B、a≤﹣ $\frac{3}{4}$ C、a≥1或a＜﹣ $\frac{3}{4}$ D、a＞1或a≤﹣ $\frac{3}{4}$

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10. 已知椭圆C₁与双曲线C₂有相同的左右焦点F₁、F₂ ， P为椭圆C₁与双曲线C₂在第一象限内的一个公共点，设椭圆C₁与双曲线C₂的离心率为e₁ ， e₂ ，且 $\frac{e_{1}}{e_{2}}$ = $\frac{1}{3}$ ，若∠F₁PF₂= $\frac{π}{3}$ ，则双曲线C₂的渐近线方程为（）

A、x±y=0 B、x± $\frac{\sqrt{3}}{3}$ y=0 C、x± $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y=0 D、x±2y=0

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二、填空题

11. 已知直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为．

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12. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为．

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13. 在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足 $\frac{x - 2}{x + 1}$ ＜0的概率为 $\frac{1}{2}$ ，则实数a的值为．

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14. 如图，已知函数y=2kx（k＞0）与函数y=x²的图象所围成的阴影部分的面积为 $\frac{32}{3}$ ，则实数k的值为．

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15. 已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2^x ，若存在x₀∈[1，2]使得等式af（x₀）+g（2x₀）=0成立，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

16. 已知向量 $\vec{m}$ =（sinx，﹣1）， $\vec{n}$ =（cosx， $\frac{3}{2}$ ），函数f（x）=（ $\vec{m}$ + $\vec{n}$ ）• $\vec{m}$ ．

(1)、求函数f（x）的单调递增区间；

(2)、将函数f（x）的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（ $\frac{A}{2}$ ）= $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，sinB=cosA，求b的值．

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17. 在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M是PD的中点，AC⊥AD，BA⊥BC，PC=AC=2BC，∠ACD=∠ACB．

(1)、求证：PA⊥CM；

(2)、求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．

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18. 已知等差数列{a_n}的首项a₁=2，前n项和为S_n ，等比数列{b_n}的首项b₁=1，且a₂=b₃ ， S₃=6b₂ ， n∈N^* ．

(1)、求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)、数列{c_n}满足c_n=b_n+（﹣1）ⁿa_n ，记数列{c_n}的前n项和为T_n ，求T_n ．

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19. 某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：
物理及格
物理不及格
合计
数学及格
28
8
36
数学不及格
16
20
36
合计
44
28
72

(1)、根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；

(2)、若以抽取样本的频率为概率，现在该校高二理科学生中，从数学及格的学生中随机抽取3人，记X为这3人中物理不及格的人数，从数学不及格学生中随机抽取2人，记Y为这2人中物理不及格的人数，记ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列及数学期望．
附：x²= $\frac{n {(n_{11} n_{22} - n_{21} n_{12})}^{2}}{n_{1 +} n_{2 +} n_{+ 1} n_{+ 2}}$ ．
P（X²≥k）
0.150
0.100
0.050
0.010
k
2.072
2.706
3.841
6.635

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20. 已知函数f（x）=e^x﹣1﹣ $\frac{a x}{x - 1}$ ，a∈R．

(1)、若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；

(2)、当a≤﹣1时，证明：f（x）lnx＞0对于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立．

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21. 已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点Q（a，2）到焦点的距离为3，线段AB的两端点A（x₁ ， y₁）、B（x₂ ， y₂）在抛物线C上．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若y轴上存在一点M（0，m）（m＞0），使线段AB经过点M时，以AB为直径的圆经过原点，求m的值；

(3)、在抛物线C上存在点D（x₃ ， y₃），满足x₃＜x₁＜x₂ ，若△ABD是以角A为直角的等腰直角三角形，求△ABD面积的最小值．

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	物理及格	物理不及格	合计
数学及格	28	8	36
数学不及格	16	20	36
合计	44	28	72

P（X²≥k）	0.150	0.100	0.050	0.010
k	2.072	2.706	3.841	6.635