2017年山东省日照市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-08-12 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 如果复数（2+ai）i（a∈R）的实部与虚部互为相反数，则a的值等于（）

A、﹣1 B、1 C、﹣2 D、2

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2. 设集合A={x|x²﹣16＞0}，B={x|﹣2＜x≤6}，则A∩B等于（）

A、（﹣2，4） B、（4，6] C、（﹣4，6） D、（﹣4，﹣2）

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3. 已知点P（﹣3，5），Q（2，1），向量 $\vec{m}$ =（2λ﹣1，λ+1），若 $\vec{P Q}$ ∥ $\vec{m}$ ，则实数λ等于（）

A、 $\frac{1}{13}$ B、 $- \frac{1}{13}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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4. 已知等差数列{a}的前n项和为S_n ，公差为d，且a₁=﹣20，则“3＜d＜5”是“S_n的最小值仅为S₆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{x - l n x - 1}$ ，则y=f（x）的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{9 + \sqrt{3}}{6}$ π B、 $\frac{6 + \sqrt{3}}{6}$ π C、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ π D、 $\frac{12 + \sqrt{3}}{6}$ π

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7. 抛物线C：y²=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，则 $\frac{| M N |}{| N F |}$ =（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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8. 假设你和同桌玩数字游戏，两人各自在心中想一个整数，分别记为x，y，且x，y∈[1，4]．如果满足|x﹣y|≤1，那么就称你和同桌“心灵感应”，则你和同桌“心灵感应”的概率为（）

A、 $\frac{7}{16}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{9}{16}$ D、 $\frac{7}{8}$

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9. 函数f（x）=（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（）

A、{x|x＞2或x＜﹣2} B、{x|﹣2＜x＜2} C、{x|x＜0或x＞4} D、{x|0＜x＜4}

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁ ， F₂ ， P为双曲线右支上一点（异于右顶点），△PF₁F₂的内切圆与x轴切于点（2，0），过F₂作直线l与双曲线交于A，B两点，若使|AB|=b²的直线l恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是（）

A、（1， $\sqrt{2}$ ） B、（1，2） C、（ $\sqrt{2}$ ，+∞） D、（2，+∞）

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二、填空题

11. 给出下列等式： $\sqrt{2} = 2 c o s \frac{π}{4}$ ， $\sqrt{2 + \sqrt{2}} = 2 c o s \frac{π}{8}$ ， $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} = 2 c o s \frac{π}{16}$ ，…请从中归纳出第n（n∈N^*）个等式： ${\underset{︸}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots + \sqrt{2}}}}}_{n 个根号}$ = ．

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12. 从6种不同的作物种子中选出4种放入4个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法种数共有．（用数字作答）

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13. 如图是判断“实验数”的程序框图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是．

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14. 已知下列命题：
①∀x∈（0，2），3^x＞x³的否定是：∃x∈（0，2），3^x≤x³；
②若f（x）=2^x﹣2^﹣^x ，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；
③若f（x）=x+ $\frac{1}{x + 1}$ ，∃x₀∈（0，+∞），f（x₀）=1；
④在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B．
其中真命题是．（将所有真命题序号都填上）

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15. 已知函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0恒成立，则 $\frac{b}{a}$ 的最小值为．

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三、解答题

16. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ sinxcosx﹣cos²x﹣ $\frac{1}{2}$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数g（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，c=4，且g（B）=0，求b的值．

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17. 某工程设备租赁公司为了调查A，B两种挖掘机的出租情况，现随机抽取了这两种挖掘机各100台，分别统计了每台挖掘机在一个星期内的出租天数，统计数据如下表：
A型车挖掘机
出租天数
1
2
3
4
5
6
7
车辆数
5
10
30
35
15
3
2
B型车挖掘机
出租天数
1
2
3
4
5
6
7
车辆数
14
20
20
16
15
10
5
（Ⅰ）根据这个星期的统计数据，将频率视为概率，求该公司一台A型挖掘机，一台B型挖掘机一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（Ⅱ）如果A，B两种挖掘机每台每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种挖掘机中购买一台，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种类型，并说明你的理由．

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18. 如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C_l中，M，N分别为CC₁ ， A₁B₁的中点．
（I）证明：直线MN∥平面CAB₁；
（II）BA=BC=BB₁ ， CA=CB₁ ， CA⊥CB₁ ， ∠ABB₁=60°，求平面AB₁C和平面A₁B₁C₁所成的角（锐角）的余弦值．

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19. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且满足12S_n﹣36=3n²+8n，数列{log₃b_n}为等差数列，且b₁=3，b₃=27．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=（﹣1）ⁿ $(a_{n} - \frac{5}{12}) + b_{n}$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n ．

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20. 已知椭圆C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上、下焦点分别为F₁ ， F₂ ，上焦点F₁到直线 4x+3y+12=0的距离为3，椭圆C的离心率e= $\frac{1}{2}$ ．
（I）若P是椭圆C上任意一点，求| $\vec{P F_{1}}$ || $\vec{P F_{2}}$ |的取值范围；
（II）设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆交于点B（B不在y轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与x轴交于点H，若 $\vec{F_{1} B} \cdot \vec{F_{1} H}$ =0，且| $\vec{M O}$ |=| $\vec{M A}$ |，求直线l的方程．

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21. 已知函数f（x）=ln（x+1）+ $\frac{2 a}{x + a} (a > 0)$ ．

（I）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；

（II）设函数f（x）存在两个极值点，并记作x₁ ， x₂ ，若f（x₁）+f（x₂）＞4，求正数a的取值范围；

（III）求证：当a=1时，f（x）＞ $\frac{1}{e^{x + 1}} + \frac{1}{x + 1}$ （其中e为自然对数的底数）

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出租天数	1	2	3	4	5	6	7
车辆数	5	10	30	35	15	3	2

出租天数	1	2	3	4	5	6	7
车辆数	14	20	20	16	15	10	5