2017年山东省聊城市高考数学三模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-08-12 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设i是虚数单位，若 $\frac{z}{i}$ = $\frac{i - 3}{1 + i}$ ，则复数z的虚部为（）

A、﹣2 B、2 C、﹣1 D、1

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2. 已知集合A={x|x²+x﹣6＞0}，集合B={x|﹣1＜x＜3}，若a∈（A∪B），则a可以是（）

A、﹣3 B、﹣2 C、﹣1 D、3

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3. 要得到函数 $y = c o s (4 x - \frac{π}{3})$ 图象，只需将函数 $y = s i n (\frac{π}{2} + 4 x)$ 图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

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4. 某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：
分数段
[60，65）
[65，70）
[70，75）
[75，80）
[80，85）
[85，90）
[90，95）
人数
1
3
6
6
2
1
1
若按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为（）

A、70分 B、75分 C、80分 D、85分

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5. 已知函数f（x）在R上单调递增，若∃x∈R，f（|x+1|）≤f（log₂a﹣|x+2|），则实数a的取值范围是（）

A、[2，+∞） B、[4，+∞） C、[8，+∞） D、（0，2]

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6. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、2π B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{7 π}{6}$

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7. “m≤ $\int_{1}^{2} (4 - 3 x^{2}) d x$ ”是“函数f（x）=2 $^{x} + \frac{1}{2^{x + m}}$ 的值不小于4”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知两点A（﹣m，0）和B（2+m，0）（m＞0），若在直线l：x+ $\sqrt{3}$ y﹣9=0上存在点P，使得PA⊥PB，则实数m的取值范围是（）

A、（0，3） B、（0，4） C、[3，+∞） D、[4，+∞）

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9. 已知变量x、y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 3 \geq 0 \\ x - 2 y + 3 \geq 0 \\ x \leq a \end{matrix}$ ，且z=x+2y的最小值为3，则 $\frac{y}{x + 1}$ ≥ $\frac{1}{2}$ 的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{9}$

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10. 若函数f（x）=alog₂（|x|+4）+x²+a²﹣8有唯一的零点，则实数a的值是（）

A、﹣4 B、2 C、±2 D、﹣4或2

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二、填空题

11. （x²﹣ $\sqrt{\frac{2}{x}}$ ）⁵的展开式中常数项为．

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12. 如图是一个程序框图，则输出的S的值是

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13. 已知非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ |，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为﹣ $\frac{1}{4}$ ，则 $\frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |}$ = ．

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14. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，点B（0， $\frac{\sqrt{15}}{3}$ b），若线段AB的垂直平分线过右焦点F，则双曲线C的离心率为．

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15. 若函数f（x）=（x²﹣ax+a+1）e^x（a∈N）在区间（1，3）只有1个极值点，则曲线f（x）在点（0，f（0））处切线的方程为．

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三、解答题

16. 已知函数f（x）=sin（2x+φ）+2sin²x（|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的图象过点（ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{3}{2}$ ）．

(1)、求函数f（x）在[0， $\frac{π}{2}$ ]的最小值；

(2)、设角C为锐角，△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若x=C是曲线y=f（x）的一条对称轴，且△ABC的面积为2 $\sqrt{3}$ ，a+b=6，求边c的长．

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17. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D是A₁B₁的中点．

(1)、求证：A₁C∥平面BDC₁；

(2)、若AB⊥AC，且AB=AC= $\frac{2}{3}$ AA₁ ，求二面角A﹣BD﹣C₁的余弦值．

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18. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁=a，当n≥2时， $S_{n}^{2}$ =3n²a_n+S $_{n - 1}^{2}$ ，a_n≠0，n∈N*．

(1)、求a的值；

(2)、设数列{c_n}的前n项和为T_n ，且c_n=3ⁿ^﹣¹+a₅ ，求使不等式4T_n＞S₁₀成立的最小正整数n的值．

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19. 某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．

(1)、求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；

(2)、请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？

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20. 已知函数f（x）=x²+ax﹣lnx（a∈R，a为常数）

(1)、当a=﹣1时，若方程f（x）= $\frac{b}{x}$ 有实根，求b的最小值；

(2)、设F（x）=f（x）•e^﹣^x ，若F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．

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21. 已知右焦点为F的椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）过点M（1， $\frac{3}{2}$ ），直线x=a与抛物线L：x²= $\frac{8}{3}$ y交于点N，且 $\vec{O M}$ = $\vec{F N}$ ，其中O为坐标原点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线l与椭圆C交于A、B两点．
①若直线l与x轴垂直，过点P（4，0）的直线PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点；
②已知D为椭圆C的左顶点，若l与直线DM平行，判断直线MA，MB是否关于直线FM对称，并说明理由．

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分数段	[60，65）	[65，70）	[70，75）	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）
人数	1	3	6	6	2	1	1