2016-2017学年四川省资阳市简阳市高一下学期期末数学试卷（文科）

试卷更新日期：2017-08-10 类型：期末考试

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一、选择题

1. 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、ab＜b² C、﹣ab＜﹣a² D、 $- \frac{1}{a} < - \frac{1}{b}$

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2. 已知{a_n}为等比数列，且 $a_{1} a_{13} = \frac{π}{6}$ ，则tan（a₂a₁₂）的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、﹣ $\sqrt{3}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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3. 若x，y满足 ${\begin{matrix} 2 x - y \leq 0 \\ x + y \leq 3 \\ x \geq 0 \end{matrix}$ ，则2x+y的最大值为（）

A、0 B、3 C、4 D、5

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4. 设α，β为锐角，且sin α= $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，cos β= $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，则α+β的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ π B、 $\frac{5}{4}$ π C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{4} 或 \frac{3 π}{4}$

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5. 已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（　　）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 已知cos α= $\frac{1}{3}$ ，α∈（ $\frac{3 π}{2} ， 2 π$ ），则cos $\frac{α}{2}$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、﹣ $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）

A、若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B、若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C、若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D、若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

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8. 两直线3ax﹣y﹣2=0和（2a﹣1）x+5ay﹣1=0分别过定点A、B，则|AB|等于（）

A、 $\frac{\sqrt{89}}{5}$ B、 $\frac{17}{5}$ C、 $\frac{13}{5}$ D、 $\frac{11}{5}$

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9. 三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为 $\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则该三棱锥的外接球表面积为（）

A、4π B、6π C、8π D、10π

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10. 把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C﹣ABD的正视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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11. 已知数列{a_n}满足：a₁=1， $\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{a_{n} + 1}{a_{n}}$ （n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式为（）

A、 $a_{n} = \frac{1}{n}$ B、 $a_{n} = \frac{1}{n - 1}$ C、 $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$ D、 $a_{n} = \frac{1}{n + 1}$

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12. 设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a^x=b^y=3，a+b=2 $\sqrt{3} ，则 \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 已知不等式x²﹣2x+k²﹣1＞0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是．

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14. 在△ABC中，A=60°，b，c是方程x²﹣3x+2=0的两个实根，则边BC长为．

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15. 如图，在三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA₁的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V₁ ，三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC的体积为V₂ ，则V₁：V₂= ．

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16. 设数列{a_n}，若a_n₊₁=a_n+a_n₊₂（n∈N^*），则称数列{a_n}为“凸数列”，已知数列{b_n}为“凸数列”，且b₁=1，b₂=﹣2，则b₂₀₁₇= ．

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三、解答题

17. 综合题。

(1)、已知点A（﹣1，﹣2）和B（﹣3，6），直线l经过点P（1，﹣5）．且与直线AB平行，求直线l的方程

(2)、求垂直于直线x+3y﹣5=0，且与点P（﹣1，0）的距离是 $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$ 的直线m的方程．

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18. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} x + \sqrt{3} s i n x c o s x + 1 ， x \in R$

(1)、求f（x）的最小正周期和最值

(2)、设α是第一象限角，且 $f (\frac{α}{2} + \frac{π}{6}) = \frac{21}{10}$ ，求 $\frac{s i n (α + \frac{π}{4})}{c o s (2 π + 2 α)}$ 的值．

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19. 如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC将梯形DCFE折起，使得平面DCFE⊥平面ABCD．

(1)、证明：AC∥平面BEF；

(2)、求三棱锥D﹣BEF的体积；

(3)、求直线AF与平面BDF所求的角．

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20. 在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c（a≤b≤c），且bcosC+ccosB=2asinA．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求证： $a^{2} \geq (2 - \sqrt{3}) b c$ ；
（Ⅲ）若a=b，且BC边上的中线AM长为 $\sqrt{7}$ ，求△ABC的面积．

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21. 某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万件）之间的函数关系为 $Q = \frac{3 x - 2}{x} (x > 0)$ ，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为（32Q+3）•150%+x•50%，而当年产销量相等．

(1)、试将年利润P（万件）表示为年广告费x（万元）的函数；

(2)、当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？

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22. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ， 2S_n=a_n₊₁﹣2ⁿ⁺¹+1，n∈N^* ，且a₁ ， a₂+5，a₃成等差数列．

(1)、求a₁

(2)、证明 ${\frac{a_{n}}{2^{n}} + 1}$ 为等比数列，并求数列{a_n}的通项；

(3)、设b_n=log₃（a_n+2ⁿ），且T_n= $\frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + {\frac{1}{b_{3} b}}_{4} + \dots + \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，证明T_n＜1．

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