2016-2017学年山西省运城市高一下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2017-08-09 类型：期末考试

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一、选择题

1. 函数f（x）= $\sqrt{3} s i n (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) ， x \in R$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、π C、2π D、4π

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2. 已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量 $\vec{A B}$ 同方向的单位向量为（）

A、 $(\frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$ B、 $(\frac{4}{5} ， - \frac{3}{5})$ C、 $(- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ D、 $(- \frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$

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3. 不等式 $\frac{x - 3}{x + 2}$ ＜0的解集为（）

A、{x|﹣2＜x＜3} B、{x|x＜﹣2} C、{x|x＜﹣2或x＞3} D、{x|x＞3}

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4. 若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）

A、a²+b²＞2ab B、 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > \frac{2}{\sqrt{a b}}$ D、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$

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5. 已知各项均为正数的等比数列{a_n}，a₁a₂a₃=5，a₇a₈a₉=10，则a₄a₅a₆=（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、7 C、6 D、 $4 \sqrt{2}$

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6. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a= $\sqrt{5}$ ，c=2，cosA= $\frac{2}{3}$ ，则b=（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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7. 设关于x，y的不等式组 ${\begin{matrix} 2 x - y + 1 > 0 ， \\ x + m < 0 ， \\ y - m > 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域内存在点P（x₀ ， y₀），满足x₀﹣2y₀=2，求得m的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{4}{3})$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{3})$ C、 $(- \infty ， - \frac{2}{3})$ D、 $(- \infty ， - \frac{5}{3})$

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8. 关于x的不等式x²﹣2ax﹣8a²＜0（a＞0）的解集为（x₁ ， x₂），且：x₂﹣x₁=15，则a=（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\frac{15}{4}$ D、 $\frac{15}{2}$

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9. 设ω＞0，函数y=sin（ωx+ $\frac{π}{3}$ ）+2的图象向右平移 $\frac{4 π}{3}$ 个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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10. 函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）

A、（kπ﹣ $\frac{1}{4}$ ，kπ+ $\frac{3}{4}$ ，），k∈z B、（2kπ﹣ $\frac{1}{4}$ ，2kπ+ $\frac{3}{4}$ ），k∈z C、（k﹣ $\frac{1}{4}$ ，k+ $\frac{3}{4}$ ），k∈z D、（ $2 k - \frac{1}{4}$ ，2k+ $\frac{3}{4}$ ），k∈z

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11. 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且 $\vec{B E} = λ \vec{B C} ， \vec{D F} = \frac{1}{9 λ} \vec{D C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{27}{18}$ B、 $\frac{29}{18}$ C、 $\frac{17}{18}$ D、 $\frac{13}{18}$

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12. 已知数列{a_n}的首项为2，且数列{a_n}满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1}$ ，设数列{a_n}的前n项和为S_n ，则S₂₀₁₇=（）

A、﹣586 B、﹣588 C、﹣590 D、﹣504

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二、填空题

13. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} 3 x + y - 6 \geq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \\ y - 3 \leq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数z=y﹣2x的最小值为．

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14. 化简：sin40°（tan10°﹣ $\sqrt{3}$ ）= ．

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15. 已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值为．

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16. 锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA，则cosA+sinC的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知函数f（x）=cosx•cos（x﹣ $\frac{π}{3}$ ）．

(1)、求f（ $\frac{2 π}{3}$ ）的值．

(2)、求使f（x）＜ $\frac{1}{4}$ 成立的x的取值集合．

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18. 已知 $\vec{a}$ =（cosα，sinα）， $\vec{b}$ =（cosβ，sinβ），（0＜β＜α＜π）．

(1)、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，求证： $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ；

(2)、设 $\vec{c} = (0 ， 1)$ ，若 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$ ，求α，β的值．

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19. 如图，在△ABC中，∠B= $\frac{π}{3}$ ，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC= $\frac{1}{7}$ ．

(1)、求sin∠BAD；

(2)、求BD，AC的长．

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20. 已知等差数列{a_n}满足a₃=7，a₅+a₇=26．{a_n}的前n项和为S_n ．

(1)、求a_n及S_n；

(2)、令b_n=﹣ $\frac{1}{a_{n}^{2} - 1}$ （n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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21. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+ $\sqrt{3}$ asinC﹣b﹣c=0．

(1)、求角A；

(2)、若a=2，△ABC的面积为 $\sqrt{3}$ ，求b，c．

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22. 已知数列{a_n}的首项a₁= $\frac{2}{3}$ ，a_n₊₁= $\frac{2 a_{n}}{a_{n} + 1}$ ，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明：数列{ $\frac{1}{a_{n}}$ ﹣1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列 { $\frac{n}{a_{n}}$ }的前n项和S_n ．

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