人教A版（2019）数学必修第一册第四章指数函数与对数函数单元测试

试卷更新日期：2020-02-06 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 若函数 $f (x) = (\frac{1}{2} a - 3) \cdot a^{x}$ 是指数函数，则 $f (\frac{1}{2})$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、 $- 2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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2. $y = 3 - a^{x - 1}$ ( $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ )恒过的定点为（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， 2)$

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3. 函数 $f (x) = 3^{- x}$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最小值是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- 3$ D、 $3$

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4. 函数 $y = \sqrt{4 - 2^{x}}$ 的值域是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[0, 2]$ C、 $[0, 2)$ D、 $(0, 2)$

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5. 下列各式：① $\sqrt[n]{a^{n}}$ $= a$ ； ②( $a^{2} - 2 a - 3$ )⁰＝1； ③ $\sqrt[3]{- 3}$ ＝ $\sqrt[6]{{(- 3)}^{2}}$ ； ④ $\log_{3} 18 - \log_{3} 2 = 2$ .其中正确的个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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6. ${(\lg 5)}^{2} + \lg 2 \cdot \lg 5 + \lg 20$ 的值是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 已知函数f（x）=2^x的反函数为y=g（x），则g（ $\frac{1}{2}$ ）的值为（　　）

A、 $- 1$ B、1 C、12 D、2

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8. 根据表中的数据，可以断定方程 $e^{x} - x - 2 = 0$ 的一个根所在的区间是（）

x

-1

0

1

2

3

$e^{x}$

0.37

1

2.72

7.39

20.09

A、 $(0, 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(1, 2)$

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9. 函数 $y = \log_{a} (2 x - 1) + 3$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象必过点（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 4)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $f' (x) = 0$ D、 $(1 ， 4)$

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10. 设 $a = \log_{2} 3, b = \log_{0.3} 2, c = \log_{3} 2$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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11. 对于，给出下列四个不等式：
① $\log_{a} (1 + a) < \log_{a} (1 + \frac{1}{a})$ ；
② $\log_{a} (1 + a) > \log_{a} (1 + \frac{1}{a})$ ；
③ $a^{1 + a} < a^{1 + \frac{1}{a}}$ ； ④ $a^{1 + a} > a^{1 + \frac{1}{a}}$ ；
其中成立的是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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12. 已知函数 $f (x) = ln x - \frac{3}{e}$ ，则其零点在的大致区间为（）

A、 $(\frac{1}{e}, 1)$ B、 $(1, e)$ C、 $({e,e}^{2})$ D、 $(e^{2} {,e}^{3})$

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{k}{x}, x \geq 2 \\ {(x - 1)}^{2}, x < 2 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 有三个不同的实根，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 2]$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $[1, 2)$ D、 $[2, + \infty)$

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14. 已知奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (x + 4)$ ，当 $x \in (0, 1)$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (\log_{2} 12) =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $\frac{23}{32}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{8}$

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} | l n x | \\ 2 - l n x \end{matrix}$ ， $\begin{matrix} 0 < x \leq e \\ x > e \end{matrix}$ ，若正实数 $a ， b ， c$ 互不相等，且 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a • b • c$ 的取值范围为（）

A、 $(e ， e^{2})$ B、 $(1 ， e^{2})$ C、 $(\frac{1}{e} ， e)$ D、 $(\frac{1}{e} ， e^{2})$

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16. 设 $f (x)$ 是定义在实数集 $R$ 上的函数，满足条件 $f (x - 1) = f (- x - 1)$ ，且当 $x \leq - 1$ 时， $f (x) = e^{- x} + m (m \in R)$ ，则 $a = f (- \log_{2} 7),$ $b = f (- 3^{- \frac{2}{3}})$ ， $c = f (- 3^{- 1 .5})$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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二、填空题

17. 计算 $\sqrt{6 \frac{1}{4}} + {(3 \frac{3}{8})}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{125} =$ ．

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18. 设 $5^{2 {log}_{5} (2 x - 1)} = 9$ ，则 $x =$ .

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19. 计算 ${lg}^{2} 2 + lg 2 lg 50 + lg 25$ =.

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20. 已知函数 $y = \log_{a} (x + 3) (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图象过定点 $A$ ，若点 $A$ 也在函数 $f (x) = 3^{x} + b$ 的图象上，则 $f (\log_{3} 2) =$ ．

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21. 若函数 $y = a x + 2 a - \sqrt{1 - x^{2}}$ 存在零点，则实数 $a$ 的取值范围是

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22. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x} + 1 ， x \geq 1 \\ \frac{3 x}{2} ， 0 < x < 1 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - k$ 有两不同的零点，则实数 $k$ 的取值范围是．

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23. 已知函数f（x）=kx，g（x）= $\frac{l n x}{x}$ ，如果关于x的方程f（x）=g（x）在区间[ $\frac{1}{e}$ ，e]内有两个实数解，那么实数k的取值范围是．

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三、解答题

24. 求值计算

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{0} + {(\frac{4}{9})}^{- \frac{1}{2}} + \sqrt[4]{{(\sqrt{2} - \frac{3}{2})}^{4}}$

(2)、 $\frac{\log_{2} \sqrt{10} - \log_{2} \frac{\sqrt{5}}{2}}{\log_{2} \sqrt{2} + \log_{\sqrt{2}} 2} \cdot \log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4$

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25. 已知指数函数 $y = {(\frac{1}{a})}^{x}$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ 时，有 $y > 1$ .

(1)、求的取值范围；

(2)、解关于的不等式 ${log}_{a} (x - 1) \leq {log}_{a} (x^{2} + x - 6)$ .

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26. 函数 $f (x) = \log_{2} (2^{x} - 1)$ ．

(1)、解不等式 $f (x) < 1$ ；

(2)、若方程 $f (x) = \log_{4} (m - 4^{x})$ 有实数解，求实数 $m$ 的取值范围．

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27. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x + 1 ， x \leq 0 ， \\ \lg x ， x > 0. \end{array}$

(1)、求 $y = f (x) + 1$ 的零点；

(2)、若 $y = f (x) + a$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

(3)、若 $y = f (f (x)) + k$ 有三个零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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28. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 4 x + a - 5$ ， $g (x) = m \cdot 4^{x - 1} - m + 7$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上存在零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 0$ 时，若对任意的 $x_{1} \in [1 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 2]$ 使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若 $y = f (x) ， x \in [t ， 2]$ 的值域为区间 $D$ ，是否存在常数 $t$ ，使区间 $D$ 的长度为 $6 - 4 t$ ？若存在，求出 $t$ 的值，若不存在，请说明理由.（注：区间 $[p ， q]$ 的长度为 $q - p$ ）

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x	-1	0	1	2	3
$e^{x}$	0.37	1	2.72	7.39	20.09