人教A版（2019）数学必修第一册3.2函数的基本性质

试卷更新日期：2020-02-02 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列四个函数中，在(－∞，0)上是增函数的为（）

A、f(x)＝x²＋1 B、f(x)＝1－ $\frac{1}{x}$ C、f(x)＝x²－5x－6 D、f(x)＝3－x

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2. 下列函数为偶函数的是（）

A、 $f (x) = x + 3$ B、 $f (x) = x^{2} - 2$ C、 $f (x) = x^{3}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x}$

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3. 若函数 $f (x) = a + \frac{1}{4^{x} - 1}$ 是奇函数，则 $a$ =（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、3 D、4

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4. 已知函数 $f (x) = | x + a |$ 在 $(- \infty ， - 1)$ 上是单调函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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5. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = - x^{2}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = x | x |$

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6. 函数 $f (x) = 1 + \frac{1}{x - 1}$ （）

A、在 $(- 1 ， + \infty)$ 上单调递增 B、在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增 C、在 $(- 1 ， + \infty)$ 上单调递减 D、在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递减

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7. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ ,当 $x > 0$ 时, $f (x) = x^{2} + x - 1$ ,那么当 $x < 0$ 时, $f (x)$ 的解析式为（）.

A、 $f (x) = x^{2} + x + 1$ B、 $f (x) = - x^{2} - x + 1$ C、 $f (x) = - x^{2} + x - 1$ D、 $ f (x) = - x^{2} + x + 1$

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8. 函数y＝ $\sqrt{x^{2} + 2 x - 3}$ 的单调递减区间为（）

A、(－∞，－3] B、(－∞，－1] C、[1，＋∞) D、[－3，－1]

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9. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - \frac{1}{2} x - 2$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上不单调，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{4}]$ B、 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ C、 $(0, \frac{1}{4})$ D、 $[\frac{1}{4}, + \infty)$

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10. 若 $f (x)$ 是偶函数，且对任意 $x_{1}, x_{2}$ ∈ $(0, + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ，则下列关系式中成立的是（）

A、 $f (\frac{1}{2}) > f (- \frac{2}{3}) > f (\frac{3}{4})$ B、 $f (\frac{1}{2}) > f (- \frac{3}{4}) > f (\frac{2}{3})$ C、 $f (\frac{3}{4}) > f (- \frac{1}{2}) > f (\frac{2}{3})$ D、 $f (- \frac{3}{4}) > f (\frac{2}{3}) > f (\frac{1}{2})$

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11. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增，若实数m满足 $f (| m - 1 |) > f (- 1)$ ，则m的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ C、（0，2） D、 $(2, + \infty)$

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12. 设 $f (x)$ 是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 内是增函数，又 $f (- 2) = 0$ ，则 $\frac{f (x)}{x} < 0$ 的解集是（）

A、 ${x | - 2 < x < 0$ 或 $x > 2}$ B、 ${x | x < - 2$ 或 $0 < x < 2}$ C、 ${x | x < - 2$ 或 $x > 2}$ D、 ${x | - 2 < x < 0$ 或 $0 < x < 2}$

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13. 已知函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 0$ 对称，当 $x_{2} > x_{1} \geq 0$ 时， $[f (x_{2}) - f (x_{1})] (x_{2} - x_{1}) > 0$ 恒成立，则满足 $f (2 x - 1) < f (\frac{1}{3})$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ B、 $(- \infty, \frac{2}{3})$ C、 $(\frac{2}{3}, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$

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14. $f (x) = {\begin{array}{l} (3 a - 1) x + 4 a ， (x < 1) \\ - a x ， (x \geq 1) \end{array}$ 是定义在 $(- \infty ， + \infty)$ 上的减函数，则 $a$ 的范围是（）

A、 $[0 ， \frac{1}{3}]$ B、 $[\frac{1}{8} ， \frac{1}{3})$ C、 $(0 ， \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{3}]$

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二、填空题

15. 已知一个奇函数的定义域为[a+1，b-2]，则 $\frac{a + b}{2}$ =.

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16. 已知 $f (x) = a x^{3} + b x + 2 (a ， b \in R)$ ，若 $f (2019) = 3$ ，则 $f (- 2019) =$ .

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17. 奇函数 $f (x)$ 在区间 $[3, 7]$ 上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则 $2 f (6) + f (- 3) =$ 。

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18. 已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x²﹣5x，则f（x﹣1）＞f（x）的解集为．

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19. 函数y=f（x）定义域是D，若对任意x₁ ， x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数，设函数y=f（x）在[0，1]上为非减函数，满足条件：①f（0）=0；②f（ $\frac{x}{3}$ ）= $\frac{1}{2}$ f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）；则f（ $\frac{1}{3}$ ）+f（ $\frac{1}{2016}$ ）= ．

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三、解答题

20. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ 现已画出函数 $f (x)$ 在 $y$ 轴左侧的图象，如图所示．

(1)、画出函数 $f (x)$ 在 $y$ 轴右侧的图象，并写出函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式．

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21. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{x}$ 的图像经过点 $(1, - 3)$

(1)、求 $a$ 的值并判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 在 $[1, 4]$ 的单调性，并求出最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x - 3}{x + 1}$ ．

(1)、判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明其结论；

(2)、求函数f（x）在区间[2，9]上的最大值与最小值．

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23. 定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）是减函数，且f（1﹣a）+f（1﹣a²）＞0，求实数a的取值范围．

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24. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足：① 对任意 $x$ ， $y \in R$ ，有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ .②当 $x < 0$ 时， $f (x) > 0$ 且 $f (1) = - 3$ .

(1)、求证： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、解不等式 $f (2 x - 2) - f (x) \geq - 12$ .

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