2017年浙江中考真题分类汇编（数学）：专题06 二次函数

试卷更新日期：2017-08-08 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 抛物线 $y = x^{2} - 2 x + m^{2} + 2$ （m是常数）的顶点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 对于二次函数y=−(x−1)²+2的图象与性质，下列说法正确的是（ )

A、对称轴是直线x=1，最小值是2 B、对称轴是直线x=1，最大值是2 C、对称轴是直线x=−1，最小值是2 D、对称轴是直线x=−1，最大值是2

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3. 设直线x=1是函数y=ax²+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）

A、若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B、若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0 C、若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0 D、若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0

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4. 矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1）.一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x² ，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）

A、y=x²+8x+14 B、y=x²-8x+14 C、y=x²+4x+3 D、y=x²-4x+3

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5. 下列关于函数 $y = x^{2} - 6 x + 10$ 的四个命题：①当 $x = 0$ 时， $y$ 有最小值10；② $n$ 为任意实数， $x = 3 + n$ 时的函数值大于 $x = 3 - n$ 时的函数值；③若 $n > 3$ ，且 $n$ 是整数，当 $n \leq x \leq n + 1$ 时， $y$ 的整数值有 $(2 n - 4)$ 个；④若函数图象过点 $(a, y_{0})$ 和 $(b, y_{0} + 1)$ ，其中 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $a < b$ ．其中真命题的序号是（）

A、① B、② C、③ D、④

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6. 将函数y=x²的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1,4）的方法是（）

A、向左平移1个单位 B、向右平移3个单位 C、向上平移3个单位 D、向下平移1个单位

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二、填空题

7.
在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m²）.
①如图1，若BC＝4m，则S＝m.
②如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为m.

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三、解答题

8.
某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为为50m.设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m²).

(1)、如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？

(2)、如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大。小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了.”小敏的说法正确吗？

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9.
如图，某日的钱塘江观潮信息如表：
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离 $s$ （千米）与时间 $t$ （分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点 $A (0 ， 12)$ ，点 $B$ 坐标为 $(m ， 0)$ ，曲线 $B C$ 可用二次函数 $s = \frac{1}{125} t^{2} + b t + c$ （ $b$ ， $c$ 是常数）刻画．

(1)、求 $m$ 的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；

(2)、11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以 $0.48$ 千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？

(3)、相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为 $0.48$ 千米/分，小红逐渐落后，问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度 $v = v_{0} + \frac{2}{125} (t - 30)$ ， $v_{0}$ 是加速前的速度）．

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10.
如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A—C—B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm²)，y关于x的函数图象由C₁ ， C₂两段组成，如图2所示.

(1)、求a的值；

(2)、求图2中图象C₂段的函数表达式；

(3)、当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围.

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11.
如图，过抛物线y= $\frac{1}{4}$ x²﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．

(1)、求抛物线的对称轴和点B的坐标；

(2)、在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；
①连结BD，求BD的最小值；
②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．

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12. 在平面直角坐标系中，设二次函数y₁=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．

(1)、若函数y₁的图象经过点（1，﹣2），求函数y₁的表达式；

(2)、若一次函数y₂=ax+b的图象与y₁的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；

(3)、已知点P（x₀ ， m）和Q（1，n）在函数y₁的图象上，若m＜n，求x₀的取值范围．

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13. 湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 $20000$ $kg$ 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养 $10$ 天的总成本为 $30.4$ 万元；放养 $20$ 天的总成本为 $30.8$ 万元（总成本=放养总费用+收购成本）．

(1)、设每天的放养费用是 $a$ 万元，收购成本为 $b$ 万元，求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、
设这批淡水鱼放养 $t$ 天后的质量为 $m$ （ $kg$ ），销售单价为 $y$ 元/ $kg$ ．根据以往经验可知： $m$ 与 $t$ 的函数关系为 $m = {\begin{cases} 20000 (0 \leq t \leq 50) \\ 100 t + 15000 (50 < t \leq 100) \end{cases}$ ； $y$ 与 $t$ 的函数关系如图所示．
①分别求出当 $0 \leq t \leq 50$ 和 $50 < t \leq 100$ 时， $y$ 与 $t$ 的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养 $t$ 天后一次性出售所得利润为 $W$ 元，求当 $t$ 为何值时， $W$ 最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）

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14.
如图，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} x + c$ 与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB．点C $(6 ， \frac{15}{2})$ 在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．

(1)、求c的值及直线AC的函数表达式；

(2)、点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．
①求证：△APM∽△AON；
②设点M的横坐标为m ，求AN的长（用含m的代数式表示）．

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15.
在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ ，操作步骤是：
第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）；
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。

(1)、在图2 中，按照“第四步“的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）

(2)、结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的一个实数根；

(3)、上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0 ， b^{2} - 4 a c \geq 0)$ 的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；

(4)、实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当 $m_{1}$ ， $n_{1}$ ， $m_{2}$ ， $n_{2}$ 与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（ $m_{1}$ ， $n_{1}$ ），Q（ $m_{2}$ ， $n_{2}$ ）就是符合要求的一对固定点？

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16. 交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的液体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征。其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数，为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间的部分数据如下表：
速度v（千米/小时）
…
5
10
20
32
40
48
…
流量q（辆/小时）
…
550
1000
1600
1792
1600
1152
…

(1)、根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是（只需填上正确答案的序号）① $q = 90 v + 100$ ② $q = \frac{32000}{v}$ ③ $q = - 2 v^{2} + 120 v$

(2)、请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？

(3)、已知q，v，k满足 $q = v k$ ，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题：
①市交通运行监控平台显示，当 $12 \leq v < 18$ 时道路出现轻度拥堵，试分析当车流密度k在什么范围时，该路段出现轻度拥堵；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，求流量q最大时d的值

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17.
定义：如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b c + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足 $A P^{2} + B P^{2} = A B^{2}$ ，则称点P为抛物线 $y = a x^{2} + b c + c (a \neq 0)$ 的勾股点。

(1)、直接写出抛物线 $y = - x^{2} + 1$ 的勾股点的坐标；

(2)、如图2，已知抛物线C： $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于A，B两点，点P（1， $\sqrt{3}$ ）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；

(3)、在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件 $S_{Δ A B Q} = S_{Δ A B P}$ 的点Q（异于点P）的坐标

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18.
如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别O(0，0)，A(3，3 $\sqrt{3}$ )，B(9，5 $\sqrt{3}$ )，C(14，0).动点P与Q同时从O点出发，运动时间为t秒，点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动，点Q沿折线OA−AB−BC运动，在OA，AB，BC上运动的速度分别为3， $\sqrt{3}$ ， $\frac{5}{2}$ (单位长度/秒)﹒当P，Q中的一点到达C点时，两点同时停止运动．

(1)、求AB所在直线的函数表达式.

(2)、如图2，当点Q在AB上运动时，求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值.

(3)、在P，Q的运动过程中，若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点，求相应的t值.

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19.
甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分. 如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式 $y=a （ x-4 ）^{2} +h$ ，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度1.55m.

(1)、当a=− $\frac{1}{24}$ 时，①求h的值.②通过计算判断此球能否过网.

(2)、若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为 $\frac{12}{5}$ m的Q处时，乙扣球成功，求a的值.

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速度v（千米/小时）	…	5	10	20	32	40	48	…
流量q（辆/小时）	…	550	1000	1600	1792	1600	1152	…