初中数学浙教版八年级下册第二章一元二次方程章末检测

试卷更新日期：2020-01-22 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $a x^{2} + b x + c = 0$ B、 $x^{2} + \frac{2}{x} = 1$ C、 $x^{2} = － 4$ D、 $x^{2} = (x + 2) (x - 2) + 4$

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2. 关于x的一元二次方程(a-1)x²+x+a²-1=0的一个根是0，则a的值为（）

A、1 B、-1 C、1或-1 D、2

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3. 把方程 $(x + 1) (3 x - 2) = 10$ 化为一元二次方程的一般形式后为（）

A、 $2 x^{2} + 3 x - 10 = 0$ B、 $2 x^{2} - 3 x + 10 = 0$ C、 $3 x^{2} - x + 12 = 0$ D、 $3 x^{2} + x - 12 = 0$

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4. 若 ${(a^{2} + b^{2} - 2)}^{2} = 25$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的值为（）

A、7 B、-3 C、7或-3 D、21

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5. 解一元二次方程x²＋4x－1＝0，配方正确的是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 3$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 3$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 5$

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6. 已知关于x的一元二次方程M为ax²+bx+c＝0、N为cx²+bx+a＝0（a≠c），则下列结论：①如果5是方程M的一个根，那么 $\frac{1}{5}$ 是方程N的一个根；②如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；③如果方程M与方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1．其中正确的结论是（　　）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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7. 用公式法解-x²+3x=1时，先求出a，b，c的值，则a，b，c依次为（）

A、-1，3，1 B、1，3，1 C、-1，3，-1 D、1，-3，1

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8. 下列方程适合用因式分解法求解的是（）

A、x²－3 $\sqrt{2}$ x＋2＝0 B、2x²＝x＋4 C、(x－1)(x＋2)＝70 D、x²－11x＝0

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9. 一元二次方程x²﹣3x+1＝0的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁²+3x₂+x₁x₂﹣2的值是（）

A、10 B、9 C、8 D、7

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10. 如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m²的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（）

A、10m或5m B、5m或8m C、10m D、5m

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二、填空题

11. 写出一个一元二次方程，使其有一个根为1，并且二次项系数也为1，方程为．

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12. 已知 $x = 2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $\frac{3}{2} x^{2} + 2 a = 0$ 的一个根，则 $1 + 2 a =$ ．

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13. 若关于x 的方程(a－1)x²－2x－1＝0有实数根，则实数a的取值范围是.

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14. 已知关于x的方程x²-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是

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15. 如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为．

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16. 设x₁、x₂是关于x的方程2x²﹣4mx+2m²+3m+2＝0的两个实根，当m＝时，x₁²+x₂²有最小值为.

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三、解答题

17. 解一元二次方程：

(1)、(x+1)²－144=0

(2)、x²－4x－32＝0

(3)、x（x﹣5）=2（x﹣5）

(4)、 $x^{2} - 5 x - 1 = 0$

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18. 已知m是方程 $x^{2} - 3 x = 0$ 的一个根，求 ${(m - 3)}^{2} + (m + 2) (m - 2)$ 的值．

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19. 已知关于x的一元二次方程x²+(k+1)x+ $\frac{1}{4}$ k²=0有两个不相等的实数根。

(1)、求k的取值范围。

(2)、当k取最小整数时，求方程的解。

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20. 某公园要在一块长40m，宽30m的长方形空地上建成一个矩形花园，要求在花园中修三条纵向平行和两条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为500m² ，那么小道进出口的宽度应为多少米？

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21. 已知关于x的一元二次方程x²−(3k+1)x+2k²+2k=0.

(1)、求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；

(2)、若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好分别是这个方程的两个根，求k的值.

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22. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．

(1)、若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？

(2)、若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？

(3)、能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由．

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23. 在一元二次方程中，有著名的韦达定理：对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根x₁ ， x₂ ，那么x₁+x₂= $- \frac{b}{a}$ ，x₁+x₂= $\frac{c}{a}$ (说明：定理成立的条件△≥0).比如方程2x²-3x-1=0中，△=17，所以该方程有两个不等的实数解.记方程的两根为x₁ ， x₂ ，那么x₁+x₂= $\frac{3}{2}$ ，x₁+x₂= $- \frac{1}{2}$ .请阅读材料回答问题：

(1)、已知方程x²-3x-2=0的两根为x₁、x₂ ，求下列各式的值：
①x₁²+x₂²；② $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ ；

(2)、已知x₁ ， x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根.
①是否存在实数k，使(2x₁-x₂)(x₁-2x₂)= $- \frac{3}{2}$ 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；

②求使 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$ -2的值为整数的实数k的整数值.

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24. 某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内江水水质明显改善．

(1)、求n的值；

(2)、从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；

(3)、该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加一个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年用甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5，求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．

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二、填空题

三、解答题

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