浙江省湖州市吴兴区2020届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-01-16 类型：期末考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．）

1. 抛物线 $y = {(x - 2)}^{2} - \frac{1}{2}$ 的对称轴是直线（）

A、x=2 B、x=-2 C、x= $\frac{1}{2}$ D、x= $- \frac{1}{2}$

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2. 下列说法正确的是（）

A、天气预报说明天降水的概率为10%，则明天一定是晴天 B、任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次一定反面朝上 C、13人中至少有2人的出生月份相同 D、任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3的概率是 $\frac{1}{2}$

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3. 已知△ABC∽△DEF ， AB∶DE=3∶1，AB=6，则DE为（）

A、18 B、2 C、54 D、 $\frac{2}{3}$

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4. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是（）

A、x<3 B、x>-1 C、-1<x<3 D、x<-1或x>3

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5. 如图，已知点A、B、C、D都在⊙ $O$ 上，且∠BOD=110°则∠BCD为（）

A、110° B、115° C、120° D、125°

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6. 如图，由六个边长为1的小正方形组成的网格图中，△ABC的各个顶点都在格点上，则sin∠BAC的值是（）

A、 $2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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7. 如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点 $O'$ 处，折痕交OB于点C ，则弧 $O' B$ 的长是（）

A、 $\frac{1}{2} π$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $3 π$

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8. 如图，矩形ABCD∽矩形BCFE ，且AD=AE.则AB：AD的值是（）

A、 $\sqrt{2} ： 1$ B、 $\sqrt{3} ： 1$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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9. 学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点. 洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD. 小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH=12cm ，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm ，且B、D、H三点共线. 小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm ，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（）cm

A、 $12 \sqrt{3}$ B、 $12 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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10. 在长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A、B、C、D四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是（）

A、 $\sqrt{29}$ B、5.5 C、 $\frac{\sqrt{181}}{2}$ D、3 $\sqrt{5}$

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{a}{a + b}$ 的值是．

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12. 已知tan∠A=1，则锐角A=度．

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13. 已知抛物线 $y = x^{2} - 4 x + c$ 的顶点在 $x$ 轴上，则 $c =$ ．

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14. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，因曰：我亦无他，唯手熟尔．”可见技能通过反复苦练而达到熟能生巧．若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为．（结果保留π）

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15. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A（m ， -3）和点B（-1，n），点C是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB=45°，则⊙P的圆心的坐标是．

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16. 如图，将水平放置的三角板ABC绕直角顶点A逆时针旋转，得到△ $A B' C'$ ，连结并延长 $B B'$ 、 $C' C$ 相交于点P，其中∠ABC=30°，BC=4．

(1)、若记 $B' C'$ 中点为点D ，连结PD ，则PD=；

(2)、若记点P到直线 $A C'$ 的距离为 $d$ ，则 $d$ 的最大值为．

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三、解答题（本题有8小题，共66分）

17. 计算
$3.14 \times 3 + 3.14 \times (- 2)$ + $\sqrt{2} \cdot \sin 45 °$

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18. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + 3$ 与x轴交于点A（1，0）

(1)、求b的值；

(2)、若抛物线与x轴的另一个交点为点B ，与y轴的交点为C ，求△ABC的面积．

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19. 如图，已知⊙ $O$ 的半径是 $5$ ，AB是⊙ $O$ 的弦，直径 $C D ⊥ A B 于点 E$ ．

(1)、点F是⊙ $O$ 上任意一点，请仅用无刻度的直尺画出∠ $A F B$ 的角平分线；

(2)、若AC=8，试求AB的长．

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20. 为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，调动党员教师为民服务的积极性，12月1日上午，某校党支部组织学校党员教师开展“不忘初心、牢记使命”主题教育活动，安排志愿者分别到A、B、C、D四个小区进行服务活动．

(1)、若去D小区的人数占全部人数的10%，试求去D小区的人数，并补全统计图；

(2)、现有甲乙丙丁4位志愿者也参加此次活动，将采取随机抽签的方式从中选派2人去B小区，试求出正好抽到甲和乙的概率（用画树状图或列表求解）．

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21. 湖州西山漾湿地公园一休闲草坪上有一架秋千．秋千静止时，底端A到地面的距离AB为0.5m，从竖直位置开始，向右可摆动的最大夹角为37°，若秋千的长OA=2m．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

(1)、如图1，当向右摆动到最大夹角时，求 $A'$ 到地面的距离；

(2)、如图2，若有人在B点右侧搭建了一个等腰三角形帐篷，已知BC=0.6m ， CD=2m ，帐篷的高为1.8m ，当人站立在秋千上，请问摆动的过程中是否会撞到帐篷？若不会撞到，请说明理由；若会撞到，则帐篷应该向右移动超过多少米才能不被撞到？

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22. 今年的猪肉价格一直以来一路飙升，市民们一致声称：吃不起！近日，王老师通过相关部门了解到2019年1月到10月湖州各大超市的猪肉的月平均售价，并绘制了如图所示的函数图象，其中1月份到5月份的猪肉售价y与月份x之间的关系符合线段AB ， 5月份到10月份的猪肉售价y与月份x之间的关系符合抛物线BC ．已知点A（1，16），点B（5，17），点C（10，42），且点B是抛物线的顶点．

(1)、求线段AB和抛物线BC的解析式；

(2)、已知1月份到5月份猪肉的平均进价为13元/斤，5月份到10月份猪肉的平均进价z与月份x之间的关系为 $z = 3 x - 2$ （ $x$ 为正整数），若设每销售一斤猪肉获得的利润为 $w$ ，试求1月到10月w至少是多少元？

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23. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=2 $\sqrt{3}$ ．点P ， Q分别是BC ， AD边上的一个动点，连结BQ ，以P为圆心，PB长为半径的⊙P交线段BQ于点E ，连结PD ．

(1)、若DQ= $\sqrt{3}$ 且四边形BPDQ是平行四边形时，求出⊙P的弦BE的长；

(2)、在点P ， Q运动的过程中，当四边形BPDQ是菱形时，求出⊙P的弦BE的长，并计算此时菱形与园重叠部分的面积．

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24. 已知菱形OABC的边长为5，且tan∠AOC= $\frac{4}{3}$ ，点E是线段BC的中点，过点A、E的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与边AB交于点D．

(1)、求点A和点E的坐标；

(2)、连结DE，将△BDE沿着DE翻折．
①当点B的对应点 $B'$ 恰好落在线段AC上时，求点D的坐标；

②连接OB、 $B B'$ ，若△BB’D与△BOC相似，请直接写出此时抛物线二次项系数 $a$ = ．

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