浙江省浙南名校联盟2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-01-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 1 < 2^{x} \leq 4}$ ， $B = {x | y = ln (x - 1)}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 1}$ B、 ${x | 1 < x \leq 2}$ C、 ${x | 0 < x \leq 2}$ D、 ${x | 0 < x < 2}$

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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3. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq x \\ x + y \leq 1 \\ y \geq - 1 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为（）

A、 $- 3$ B、 $\frac{1}{2}$ C、5 D、6

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4. 已知直线 $l_{1}$ ： $a x + y + a = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + a y + a = 0$ ，则“ $a = - 1$ ”是“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也非必要条件

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5. 已知直线l和平面 $α$ ，若直线l在空间中任意放置，则在平面 $α$ 内总有直线 $l'$ 和l（）

A、垂直 B、平行 C、异面 D、相交

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6. 已知函数 $f' (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{cos (2 x)}{x}$ B、 $f (x) = \frac{sin (2 x)}{x^{2}}$ C、 $f (x) = \frac{1}{2 x^{2}} - 1$ D、 $f (x) = \frac{1}{2 x} - x$

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7. 已知 $c o s θ = - \frac{4}{5}$ ，且 $θ \in (0, π)$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是函数 $f (x) = cos (ω x + θ) (ω > 0)$ 的两个相邻的零点，且 $| x_{1} - x_{2} | = \frac{π}{2}$ ，则 $f (\frac{π}{4})$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{2} (- x) | ， x < 0 ， \\ x - \frac{1}{x} ， x > 0 ， \end{array}$ ，则关于x的方程 $f (x + \frac{1}{x}) = a ， a \in R$ 的实数解个数最多有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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9. 如图，已知矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角 $D - E F - B$ 的平面角为锐角，记二面角 $D - E F - B$ 的平面角为 $α$ ，直线EC与平面ABFE所成角为 $β$ ，直线EC与直线FB所成角为 $γ$ ，则（）

A、 $β > α$ ， $β > γ$ B、 $α > β$ ， $β > γ$ C、 $α > β$ ， $γ > β$ D、 $α > γ$ ， $γ > β$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} < \frac{a_{n} + a_{n + 2}}{2}$ ，且 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{9} = 9$ ，则下列说法正确的是（）

A、数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 为单调递减数列，且 $a_{5} > 1$ B、数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 为单调递增数列，且 $a_{5} > 1$ C、数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 为单调递减数列，且 $a_{5} < 1$ D、数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 为单调递增数列，且 $a_{5} < 1$

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二、填空题

11. 已知函数 $f (x) = {log}_{6} (x + 1)$ ，则 $f (1) + f (2) =$ ， $f (x) > 0$ 的解集为．

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12. 若直线 $l ： x + \sqrt{3} y - m = 0$ 被圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则圆心C到直线l的距离是， $m =$ ．

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13. 某几何体的三视图如图所示 $($ 单位： $c m)$ ，则该几何体的表面积是 $c m^{2}$ ，体积是 $c m^{3}$ ．

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14. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，D为线段AC的中点，若 $B D = \sqrt{7}$ ，则 $A B =$ ， $cos ∠ B D C =$ ．

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15. 已知F是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，点P在椭圆上，且P到原点O的距离等于半焦距， $△ P O F$ 的面积为6，则 $b =$ ．

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16. 实数x，y满足 $x y + y - x = 2$ ，则 $| x + y |$ 的最小值为．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B ⊥ A C$ ，且 $A B = A C = 1$ ，D是线段BC上一点，过C点作直线AD的垂线，交线段AD的延长线于点E，则 $\vec{A D} \cdot \vec{D E}$ 的最大值为．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin^{2} x + \sin x \cos x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域．

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19. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且 $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $D E ⊥$ 平面ABCD， $E F / / B D$ ，且 $E F = \frac{1}{2} B D = 1$ ， $D E = 2$ ．

$($ Ⅰ $)$ 求证： $D E / /$ 平面ACF；

$($ Ⅱ $)$ 求直线AE与平面ACF所成角的正弦值．

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20. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 和等差数列 ${b_{n}}$ 的首项均为1， $a_{2}$ 是 $b_{1}$ ， $b_{3}$ 的等差中项，且 $a_{3} = b_{3} + 4$ ．
$($ Ⅰ $)$ 求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

$($ Ⅱ $)$ 设 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，数列 ${c_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} \leq k \cdot n \cdot 3^{n}$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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21. 如图，已知 $P (- 2 ， 0)$ 是椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点， $C_{1}$ 的短轴是圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} = 2$ 的直径，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 过点P且互相垂直， $l_{1}$ 交椭圆 $C_{1}$ 于另一点D， $l_{2}$ 交圆 $C_{2}$ 于A，B两点

$($ Ⅰ $)$ 求椭圆 $C_{1}$ 的标准方程；

$($ Ⅱ $)$ 求 $△ A B D$ 面积的最大值．

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22. 已知实数 $a > 0$ ，关于x的方程 $| x^{2} - a x + 1 | = b x$ 恰有三个不同的实数根，
$($ Ⅰ $)$ 当 $b = 1$ 时，求a的值；

$($ Ⅱ $)$ 记函数 $f (x) = | x^{2} - a x + 1 | + b x$ 的最小值 $M (a ， b)$ ，求 $M (a ， b)$ 的取值范围．

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