浙江省温州新力量联盟2019-2020学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-01-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1, 2, 5, 6}$ ， $B = {2, 4}$ ， $C = {1, 2, 3, 4}$ ，则 $(A \cup B) \cap C =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${1, 2, 4}$ C、 ${1, 2, 4, 5}$ D、 ${1, 2, 3, 4, 6}$

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} + \frac{2 x}{x - 1}$ 的定义域是（）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $(- 1, 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $[- 1, + \infty)$ D、 $[- 1, 1) \cup (1, + \infty)$

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3. 已知函数 $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ ，则函数 $y = f (x)$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 函数 $y = A s i n (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ D、 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$

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5. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \\ x + 3 y - 3 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最小值为（）

A、 $- 2$ B、1 C、 $- 1$ D、0

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} ＝ 1 ， S_{n} ＝ 2 a_{n}_{+ 1} ，$ 则 $S_{n}$ ＝（）

A、 $2^{n - 1}$ B、 ${(\frac{3}{2})}^{n - 1}$ C、 ${(\frac{2}{3})}^{n - 1}$ D、 $\frac{1}{2^{n - 1}}$

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7. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若直线 $a x + b y = 2$ 平分圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、4 D、 $\frac{1}{4}$

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8. 若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $\frac{3}{2} π$ B、 $π + \sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2} π + \sqrt{3}$ D、 $\frac{5}{2} π + \sqrt{3}$

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9. 设函数 $f (x) = | x | - \frac{1}{2019 + x^{2}}$ ，则使得 $f (x) > f (2 x - 1)$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3}, 1)$ B、 $(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, + \infty)$

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10. 已知 $\overset{⇀}{A B} ⊥ \overset{⇀}{A C}$ ， $| \overset{⇀}{A B} | = \frac{1}{t}$ ， $| \overset{⇀}{A C} | = t$ ，若 $P$ 点是 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\overset{⇀}{A P} = \frac{\overset{⇀}{A B}}{| \overset{⇀}{A B} |} + \frac{4 \overset{⇀}{A C}}{| \overset{⇀}{A C} |}$ ，则 $\overset{⇀}{P B} \cdot \overset{⇀}{P C}$ 的最大值等于（）.

A、 $13$ B、 $15$ C、 $19$ D、 $21$

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二、填空题

11. 设两直线 $L_{1}$ ： $m x + y + 1 = 0$ ； $L_{2}$ ： $x + m y + 2 = 0$ ．若 $L_{1} ∥ L_{2}$ ，则 $m =$ ；

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12. 已知函数 $f (x) = \sin x \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x$ ，则函数 $y = f (x)$ 的周期为．函数 $y = f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2})$ 上的最小值是．

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{5} = 18$ ， $a_{3} a_{4} = 32$ ，若 ${a_{n}}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{6} =$ ，若 ${a_{n}}$ 为单调递减的等比数列，其前 $n$ 项和为 $T_{n} = 63$ ，则 $n =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ 是同一平面内的三个向量,其中 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ．若 $| \vec{b} | = 2$ ,且 $\vec{b} ∥ \vec{a}$ ,则向量 $\vec{b}$ 的坐标.若 $| \vec{c} | = \sqrt{2}$ ,且 $(\vec{a} + \vec{c}) ⊥ (2 \vec{a} - 3 \vec{c})$ ,则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ ．

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15. 已知定点 $O (0, 0)$ ， $A (3, 0)$ 且 $| M O | = 2 | M A |$ ，则动点 $M$ 的轨迹方程．

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16. 已知矩形 $A B C D$ ， $A B = 2 A D = 2$ ，沿 $A C$ 翻折，使面 $A D B$ ⊥面 $A B C$ ，则二面角 $B - A D - C$ 的余弦值为．

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17. 已知 $t \in R$ ，记函数 $f (x) = | x + \frac{4}{x + 2} - t | + t$ 在 $[- 1, 2]$ 的最大值为3，则实数 $t$ 的取值范围是．

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三、解答题

18. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $Δ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $\sin^{2} B = 2 \sin A \sin C$ ．

(1)、若 $a = b$ ，求 $\cos B$ ；

(2)、若 $B = 60 °$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $b$ ．

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19. 已知圆 $C$ 经过两点 $P (- 1, - 3)$ ， $Q (2, 6)$ ，且圆心在直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 上，直线 $l$ 的方程 $x + m (y - 1) + 1 = 0 (m \in R)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、求直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最短时的方程．

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20. 已知 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 是方程x²－5x＋6＝0的根.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 的前 $n$ 项和.

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21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.

(1)、求证：PB⊥DM；

(2)、求CD与平面ADMN所成角的正弦值．

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22. 设函数 $f (x) = x^{2} + (2 a + 1) x + a^{2} + 3 a (a \in R)$ ．

(1)、若 $f (x) \geq a^{2} + 3 a + 1$ 对任意的 $x \in [1, 2]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上单调递增，且函数 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上的值域为 $[m, n]$ ，求 $a$ 的取值范围．

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