浙江省台州市五校2019-2020学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-01-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设全集U＝R，集合A＝｛x｜x＜1或x＞4｝，B＝｛x｜x≥2｝，则 $(∁_{U} A)$ ∩B＝（）

A、［1，2］ B、［2，4］ C、［2，＋∞） D、（－∞，4］

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2. 下列各组函数表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = x - 1, g (x) = \frac{x^{2}}{x} - 1$ B、 $f (x) = 1, g (x) = x^{0}$ C、 $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}, g (x) = {(\sqrt[3]{x})}^{2}$ D、 $f (x) = x + 1, g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{3})}^{x} ， x \leq 0 \\ \log_{2} x ， x > 0 \end{array}$ ，那么 $f [f (\frac{1}{4})]$ 的值为（）

A、9 B、 $\frac{1}{9}$ C、 $- 9$ D、 $- \frac{1}{9}$

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4. 已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2， $\sqrt{2}$ ），则 $\log_{2} f (2)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 1$

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5. 设 $a = \log_{3} 5, b = \log_{4} 5, c = 2^{- \frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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6. 满足｛1，2，3｝∪B＝｛1，2，3，4｝的集合 $B$ 的个数是（）

A、16 B、8 C、4 D、3

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7. 函数 $f (x) = e^{x - 1} + 4 x - 4$ 的一个零点存在的区间是（）

A、（－2，－1） B、（－1，0） C、（0，1） D、（1，2）

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x)$ 为单调递增函数，且 $f (1) = 0$ ，则满足 $x f (x) < 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ B、（0，1） C、（1，＋∞） D、（－1，0）∪（0，1）

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9. 若函数 $f (x) = \log_{2} x + 2$ ， $x \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，则函数 $g (x) = f (x) + \frac{4}{f (x)}$ 的值域（）

A、［4，5］ B、［4， $\frac{13}{3}$ ］ C、［ $\frac{13}{3}$ ，5］ D、［1，3］

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10. 若 $a > 1$ ，实数 $x$ ， $y$ 满足 $a^{x} \cdot a^{y} = 4$ ，且当 $x \in [a, a^{3}]$ 时， $y \in [m, 0]$ ，则 $m$ 的值是（）

A、 $- 8$ B、 $- 6$ C、 $- 4$ D、 $- 2$

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二、填空题

11. 设集合A＝｛1，2｝，则 $A$ 的子集的个数为，真子集的个数为．

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12. 若 $2^{a} = 5^{b}$ ＝10，则 $a =$ ， $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ ．

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13. 已知函数 $f (x) = 4 x^{2} - k x - 8 (k \in R)$ ，若 $f (x)$ 为偶函数，则 $k =$ ；若 $f (x)$ 在 $[2, 5]$ 上是单调函数，则 $k$ 的取值范围是．

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14. 函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{\sqrt{4 - x^{2}}}$ 的定义域是，值域是．

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15. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，若 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上为增函数，且满足 $f (x + 2) > f (2 x - 1)$ ，则 $x$ 的取值范围是．

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16. 若函数 $f (x) = \lg (2^{x} + x - a)$ ， $x \in (0, + \infty)$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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17. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，已知 $x > 0$ 时，恒有 $f (x + 2) = - 2 f (x)$ ，且当 $x \in (0 ， 2]$ 时，有 $f (x) = 1 - | x - 1 |$ ，若函数 $g (x) = \log_{2} | x |$ ，则关于 $x$ 的方程 $f (x) = g (x)$ 在区间 $[- 10 ， 12]$ 上的实根的个数是．

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三、解答题

18. 已知集合A＝｛x｜a＜x＜1｝，集合 $B = {x | \log_{2} x < 1}$ ．

(1)、当a＝－3时，求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若A∩B＝A，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 计算下列各式的值：

(1)、 ${(2 + \frac{10}{27})}^{- \frac{2}{3}} - {(- \frac{1}{3})}^{- 2} + {(\sqrt{32})}^{\frac{6}{5}}$ ；

(2)、 $\log_{5} 35 - 2 \log_{0.5} \sqrt{2} - \log_{5} \frac{1}{50} - \log_{5} 14 - {(\frac{1}{5})}^{\log_{5} 3^{- 1}}$ ．

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20. 已知函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) - f (\frac{1}{x}) = a x$ （ $a$ 为常数），且 $f (1)$ ＝3．

(1)、求实数 $a$ 的值，并求出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x > 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明你的结论．

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{2} \frac{3 + a x}{3 - x}$ 是函数值不恒为零的奇函数，函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{3 - x}$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值，并判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $g (\log_{2} x) - \log_{2} 5 < 1$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x + 1$ ．

(1)、对于实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $x_{1} < x_{2}$ ，有 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ，求证：方程 $f (x) = \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ 有两个不相等的实数根；

(2)、若 $m < 2$ ，函数 $g (x) = [x^{2} - 1 - f (x)] \cdot | x |$ ，求函数 $g (x)$ 在区间 $[m ， 2]$ 上的最大值和最小值；

(3)、若存在实数 $a$ ，使得对于任意实数 $x \in [0 ， n]$ ，都有 $f (2^{x} - a) \leq 2^{x}$ ，求实数 $n$ 的取值范围．

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