浙江省宁波市宁波十校2019-2020学年高三上学期数学11月月考试卷

试卷更新日期：2020-01-16 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合A＝{x| $\frac{x + 1}{x - 2} \leq$ 0}，B＝{x|1＜x≤2}，则A∩B＝（）

A、{x|1＜x＜2} B、{x|1＜x≤2} C、{x|﹣1≤x≤2} D、{x|﹣1≤x＜2}

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2. 若复数 $\frac{a + i}{1 + 2 i} (a \in R)$ 为纯虚数，其中 $i$ 为虚数单位，则 $a =$ （）

A、2 B、3 C、-2 D、-3

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3. 已知三个实数2，a，8成等比数列，则双曲线 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、3x±4y＝0 B、4x±3y＝0 C、 $\sqrt{3}$ x±2y＝0 D、9x±16y＝0

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4. 若实数x，y满足x+y＞0，则“x＞0”是“x²＞y²”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数f（x）＝x²﹣3x﹣3，x∈[0，4]，当x＝a时，f（x）取得最大值b，则函数 $g (x) = {(\frac{1}{a})}^{| x + b |}$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知实数 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + 2 y - 5 \leq 0 \\ 3 x - 2 y - 7 \leq 0 \\ x \geq 1 \end{array}$ ，若 $z = k x - y ， (k \in R)$ 的最大值为8，则z的最小值为（）

A、﹣2 B、﹣1 C、0 D、1

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7. 函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）满足f（ $\frac{π}{4}$ ）＝f（ $\frac{π}{2}$ ）＝﹣f（ $\frac{3 π}{4}$ ），且当x∈[ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{2}$ ]时恒有f（x）≥0，则（）

A、ω＝2 B、ω＝4 C、ω＝2或4 D、ω不确定

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8. 今有男生3人，女生3人，老师1人排成一排，要求老师站在正中间，女生有且仅有两人相邻，则共有多少种不同的排法？（）

A、216 B、260 C、432 D、456

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9. 如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C、D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，在翻折过程中，下列三个说法中正确的个数是（）
①存在点E和某一翻折位置使得AE∥平面SBC；②存在点E和某一翻折位置使得SA⊥平面SBC；③二面角S﹣AB﹣E的平面角总是小于2∠SAE．

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 已知函数f（x） $= {\begin{array}{l} e^{x} - 2 ， x \leq 0 \\ l n x ， x > 0 \end{array}$ ，g（x）＝f（ $\frac{k x^{2} + 1}{3}$ ）+1（k∈R，k≠0），则下列关于函数y＝f[g（x）]+1的零点个数判断正确的是（）

A、当k＞0时，有2个零点；当k＜0时，有4个零点 B、当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有2个零点 C、无论k为何值，均有2个零点 D、无论k为何值，均有4个零点

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二、填空题

11. 已知θ∈（0，π），且sin（ $\frac{π}{4} -$ θ） $= \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，则cos（θ $+ \frac{π}{4}$ ）＝， sin2θ＝．

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12. 在二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中，各项系数的和为，含x的一次项的系数为．（用数字作答）

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13. 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”，称为祖暅原理．意思是底面处于同一平面上的两个同高的几何体，若在等高处的截面面积始终相等，则它们的体积相等．利用这个原理求半球O的体积时，需要构造一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．

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14. 一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是 $\frac{7}{9}$ ，则袋中的白球个数为，若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝．

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15. 已知常数p＞0，数列{a_n}满足a_n+1＝|p﹣a_n|+2a_n+p（n∈N^*），首项为a₁ ，前n项和为S_n ．若S_n≥S₃对任意n∈N^*成立，则 $\frac{a_{1}}{p}$ 的取值范围为．

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ ，倾斜角为60°的直线与椭圆分别交于A、B两点且 $| A B | = \frac{8 \sqrt{30}}{9}$ ，点C是椭圆上不同于A、B一点，则△ABC面积的最大值为．

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17. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足： $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，| $\vec{a} - \vec{b}$ |＝5， $\vec{c} - \vec{a}$ ， $\vec{c} - \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，| $\vec{c} - \vec{a}$ |＝3 $\sqrt{2}$ ，则 $\vec{a}$ • $\vec{c}$ 的最大值为．

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三、解答题

18. 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 $b = \sqrt{3} c s i n A + a c o s C$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求△ABC的面积S的最大值．

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19. 如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACFE为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB＝BD＝AE＝2，∠EAD＝∠EAB．

(1)、证明：平面ACFE⊥平面ABCD；

(2)、若直线AE与BC的夹角为60°，求直线EF与平面BED所成角的余弦值．

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20. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₂+2a₄＝a₉ ， S₆＝36．

(1)、求a_n ， S_n；

(2)、若数列{b_n}满足b₁＝1， $b_{n + 1} b_{n} = \sqrt{S_{n}}$ ，求证： $\frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \dots + \frac{1}{b_{n}} \geq 2 \sqrt{n} - 1$ （n∈N^*）．

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21. 如图，P是抛物线E：y²＝4x上的动点，F是抛物线E的焦点．

(1)、求|PF|的最小值；

(2)、点B，C在y轴上，直线PB，PC与圆（x﹣1）²+y²＝1相切．当|PF|∈[4，6]时，求|BC|的最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = 10 l n x - \frac{a x}{x - 1}$ ．

(1)、当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性；

(2)、对任意的x∈（1，+∞）均有f（x）＜ax，若a∈Z，求a的最小值．

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