浙江省宁波市六校联考2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-01-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 空间中一点 $A (- 2 ， 3 ， 1)$ 到平面 $X O Y$ 的距离为（）

A、2 B、3 C、1 D、 $\sqrt{14}$

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2. 若点 $P (a, 3)$ 到直线 $4 x - 3 y + 1 = 0$ 的距离为4，且在不等式 $2 x + y - 3 > 0$ 表示的平面区域内，则点 $P$ 的横坐标是（）

A、7或-3 B、7 C、-3 D、-7或3

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3. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，是下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$ C、若 $α \cap β = m$ ， $n \subset α$ ， $n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m / / n$ ， $n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$

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4. 在平面直角坐标系中， $M (x ， y)$ 为不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - y - 2 \geq 0 \\ x + 2 y - 1 \geq 0 \\ 3 x + y - 8 \leq 0 \end{array}$ 所表示的区域上一动点，则 $\frac{y}{x}$ 的最小值为（）

A、2 B、1 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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5. 已知直线 $l_{1} ： (3 + a) x + 4 y = 5 - 3 a$ 与 $l_{2} ： 2 x + (5 + a) y = 8$ 平行，则 $a$ 等于（）

A、 $- 7$ 或 $- 1$ B、 $7$ 或 $1$ C、 $- 7$ D、 $- 1$

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6. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A D = 1 ， A B = 2$ ， $E$ 为 $A_{1} B_{1}$ 中点，则异面直线 $A D_{1}$ 与 $B E$ 所成角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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7. 已知点M（a，b）在圆O：x²+y²=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（　　）

A、相切 B、相交 C、相离 D、不确定

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8. 已知直线 $l$ ： $y = x + m$ 与曲线 $x = \sqrt{4 - y^{2}}$ 有两个公共点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 2 \sqrt{2})$ B、 $(- 2 \sqrt{2} ， - 2]$ C、 $[2 ， 2 \sqrt{2})$ D、 $(- 2 \sqrt{2} ， 2]$

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9. 如图，在正四棱锥S－ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC，其中恒成立的为（）

A、①③ B、③④ C、①② D、②③④

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10. 若圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 10 = 0$ 上至少有三个不同的点到直线 $l : a x + b y = 0$ 的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，则直线 $l$ 的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}]$ C、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ D、 $[0, \frac{π}{2}]$

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二、填空题

11. 直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的斜率为；倾斜角的大小是．

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12. 已知 $m \in R$ ，若方程 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y + m = 0$ 表示圆，则圆心坐标为； $m$ 的取值范围是．

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13. 《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪。在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为邪田，两畔 $C D ， A B$ 分别为1，3，正广 $A D$ 为 $2 \sqrt{3}$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，则邪田 $A B C D$ 的邪长为；邪所在直线与平面 $P A D$ 所成角的大小为.

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14. 直线 $x + y + 1 = 0$ 被圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 2$ 所截得的弦长为；由直线 $x + y + 3 = 0$ 上的一点向圆 $C$ 引切线，切线长的最小值为.

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15. 已知 $a > 0$ ， $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x + y \leq 3 \\ y \geq a (x - 3) \end{array}$ ，若 $z = 2 x + y$ 的最小值为-1，则 $a =$ .

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16. 如图所示，有一条长度为1的线段 $M N$ ，其端点 $M$ ， $N$ 在边长为4的正方形 $A B C D$ 的四边上滑动，当点 $N$ 绕着正方形的四边滑动一周时， $M N$ 的中点 $P$ 所形成的轨迹长度为.

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17. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2 \sqrt{6}$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $D$ 是边 $A C$ 上一点，将 $Δ A B D$ 沿 $B D$ 折起，得到三棱锥 $A - B C D$ 。若该三棱锥的顶点 $A$ 在底面 $B C D$ 的射影 $M$ 在线段 $B C$ 上，设 $B M = x$ ，则 $x$ 的取值范围为.

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三、解答题

18. 已知平面内两点A(8，-6)，B(2，2).

(1)、求过点P(2，-3)且与直线AB平行的直线l的方程；

(2)、一束光线从B点射向(1)中直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = B C = 2$ ， $A D = C D = \sqrt{7}$ ， $P A = \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = 120 °$ . $G$ 为线段 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $B D ⊥$ 面 $P A C$ ；

(2)、求 $D G$ 与平面 $A P C$ 所成的角的正弦值.

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20. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 21 = 0$ ，直线 $l$ 过定点 $A (1, 0)$ .

(1)、若 $l$ 与圆 $C$ 相切，求 $l$ 的方程；

(2)、若 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，求三角形 $C P Q$ 面积的最大值，并求此时 $l$ 的直线方程.

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21. 如图所示的几何体中， $P D$ 垂直于梯形 $A B C D$ 所在的平面， $∠ A D C = ∠ B A D = \frac{π}{2} ， F$ 为 $P A$ 的中点， $P D = \sqrt{2} ， A B = A D = \frac{1}{2} C D = 1$ ，四边形 $P D C E$ 为矩形，线段 $P C$ 交 $D E$ 于点 $N$ .

(1)、求证： $A C ∥$ 平面 $D E F$ ；

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的正弦值；

(3)、在线段 $E F$ 上是否存在一点 $Q$ ，使得 $B Q$ 与平面 $B C P$ 所成角的大小为 $\frac{π}{6}$ ？若存在，求出 $F Q$ 的长；若不存在，请说明理由.

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22. 若圆 $C$ 经过坐标原点和点 $(6 ， 0)$ ，且与直线 $y = 1$ 相切，从圆 $C$ 外一点 $P (a ， b)$ 向该圆引切线 $P T$ ， $T$ 为切点，
（Ⅰ）求圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）已知点 $Q (2 ， - 2)$ ，且 $| P T | = | P Q |$ ，试判断点 $P$ 是否总在某一定直线 $l$ 上，若是，求出 $l$ 的方程；若不是，请说明理由；

（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $F$ ，点 $M ， N$ 是直线 $x = 6$ 上两动点，且以 $M ， N$ 为直径的圆 $E$ 过点 $F$ ，圆 $E$ 是否过定点？证明你的结论．

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