四川省遂宁市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-01-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合A= ${1, 2, 3}$ ,B= ${2, 3}$ ，则（）

A、A=B B、A $\cap$ B= $\emptyset$ C、A $⊈$ B D、B $⊈$ A

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2. 下列图象中，表示函数关系 $y = f (x)$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 函数 $f (x) = l o g_{2} (2 x - 1) + \frac{1}{x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1) \cup (1 ， + \infty)$

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4. 已知扇形的面积为4，弧长为4，求这个扇形的圆心角是（）

A、4 B、 $1$ C、2 D、 $- 4$

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5. 若 $a = \log_{4} 3, b = 3^{0.2}, c = \log_{0.5} 5$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）.

A、 $a > c > b$ B、 $c > a > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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6. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，则 $\log_{3} f (81)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $- 2$

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7. 用二分法求方程的近似解，求得

f (x) = x^{3} + 2 x - 9

的部分函数值数据如下表所示：

$x$	1	2	1.5	1.625	1.75	1.875	1.8125
$f (x)$	-6	3	-2.625	-1.459	-0.14	1.3418	0.5793

则当精确度为0.1时，方程 $x^{3} + 2 x - 9 = 0$ 的近似解可取为（）

A、

1.6

B、

1.7

C、

1.8

D、

1.9

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8. 已知函数 $y = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）是增函数，那么函数 $f (x) = \log_{a} \frac{1}{x - 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 2.1] = - 3$ ， $[3.1] = 3$ ，已知函数 $f (x) = \frac{\sin x + 2}{\sin x + 1}$ ， $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，则函数 $y = [f (x)]$ 的值域是（）

A、 ${1, 2}$ B、 $[1, 2]$ C、 $(1, 2)$ D、 ${2}$

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10. 将函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{5})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{10}$ 个单位长度，所得图象对应的函数（）

A、在区间 $[\frac{3 π}{4} ， \frac{5 π}{4}]$ 上单调递增 B、在区间 $[\frac{3 π}{4} ， π]$ 上单调递减 C、在区间 $[\frac{5 π}{4} ， \frac{3 π}{2}]$ 上单调递增 D、在区间 $[\frac{3 π}{2} ， 2 π]$ 上单调递减

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11. 已知定义域为 $[a - 1, 2 a + 1]$ 的奇函数 $f (x) = x^{3} + (b - 1) x^{2} + \sin x$ ，则 $f (2 x - b) + f (x) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $[1, 3]$ B、 $[\frac{1}{3}, 2]$ C、 $[1, 2]$ D、 $[\frac{1}{3}, 1]$

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12. 若函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x - 1) = f (x + 1)$ ，且当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，若函数 $g (x) = f (x) - \log_{a} (x + 2)$ （ $a > 1$ ）在区间 $(- 1, 3)$ 恰有3个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 3)$ B、 $(3, 5)$ C、（3,5］ D、（1,5]

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二、填空题

13. 函数 $y = a^{x - 2} + 1 (a > 0, a \neq 1)$ 恒过定点为．

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14. 已知 $α$ 为第二象限角，则 $\frac{2 \sin α}{\sqrt{1 - \cos^{2} α}} + \cos α \sqrt{1 + \tan^{2} α}$ 的值是．

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15. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} 3^{x} & x \leq 1 \\ - 2 x^{2} + m & x > 1 \end{matrix}$ 的值域为 $(- \infty, 3]$ ，则实数 $m$ 的取值范围是

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16. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = 0$ ，对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 都有 $\frac{x_{2} f (x_{2}) - x_{1} f (x_{1})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 恒成立，且 $f (1) = 0$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为．

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三、解答题

17. 已知 $A = {x | 1 \leq 2^{x} \leq 8}$ ， $B = {x | x > 2}$ ，全集 $U = R$ .

(1)、求 $A \cap B$ 和 $A \cup (∁_{U} B)$ ；

(2)、已知非空集合 $C = {x | 0 \leq x < a}$ ，若 $A \cup C = C$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时有 $f (x) = \frac{4 x}{x + 4}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明.

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19. 已知角α的终边经过点 $P (m, 2 \sqrt{2})$ ， $\sin α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 且 $α$ 为第二象限角．

(1)、求 $m$ 、 $\cos α$ 、 $\tan α$ 的值；

(2)、若 $\tan β = \sqrt{2}$ ，求 $\frac{\sin α \cos β + 3 \sin (\frac{π}{2} + α) \sin β}{\cos (π + α) \cos (- β) - 3 \sin α \sin β}$ 的值．

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20. 已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里／小时）（0≤v≤3）的以下数据：

$v$

0

1

2

3

$Q$

0

0.7

1.6

3.3

为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q＝av³＋bv²＋cv ， Q＝0.5^v＋a ， Q＝klog_av＋b ．

(1)、试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

(2)、该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．

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21. 函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， - π < φ < 0)$ ，若函数 $y = f (x)$ 的图象与 $x$ 轴的两个相邻交点间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且图象的一条对称轴是直线 $x = \frac{π}{8}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设集合 $A = {x | \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{3 π}{4}} ， B = {x | - 2 < f (x) - m < 2}$ ，若 $A \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 如果函数 $f (x)$ 满足：对定义域内的所有 $x$ ，存在常数 $a$ ， $b$ ，都有 $f (2 a - x) + f (x) = 2 b$ ，那么称 $f (x)$ 是“中心对称函数”，对称中心是点 $(a, b)$ .

(1)、证明点 $(0, 1)$ 是函数 $f (x) = \frac{x + 1}{x}$ 的对称中心；

(2)、已知函数 $g (x) = \log_{m} \frac{x - k}{x + 2}$ （ $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ， $k > 0$ ）的对称中心是点 $(0, 0)$ .
①求实数 $k$ 的值；

②若存在 $2 < α < β$ ，使得 $g (x)$ 在 $[α, β]$ 上的值域为 $[\log_{m} m (β - 1), \log_{m} m (α - 1)]$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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$v$	0	1	2	3
$Q$	0	0.7	1.6	3.3