四川省遂宁市2019-2020学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-01-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 过点 $(1, 1)$ 且斜率不存在的直线方程为（）

A、 $y = 1$ B、 $x = 1$ C、 $y = x$ D、 $y = x + 1$

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2. 空间直角坐标系中 $A 、 B$ 两点坐标分别为 $(2, 3, 5) 、$ $(3, 1, 4)$ 则 $A 、 B$ 两点间距离为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、6

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3. 若方程 $x^{2} + y^{2} + 2 a = 0$ 表示圆，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < 0$ B、 $a = 0$ C、 $a \leq 0$ D、 $a > 0$

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4. 直线 $l_{1} : a x - y - 3 = 0$ 和直线 $l_{2} : x + (a + 2) y + 2 = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为（）

A、3 B、 $- 1$ C、 $- 2$ D、 $3$ 或 $- 1$

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5. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A C$ 与 $B D_{1}$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{6}$

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6. 设 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，下列四个命题为假命题的是（）

A、若 $m ⊥ α, n / / α$ ，则 $m ⊥ n$ ； B、若 $α$ $⊥$ 面 $γ$ ， $β$ $⊥$ 面 $γ$ ， $α \cap β = l$ ，则 $l$ $⊥$ 面 $γ$ C、若 $m \cap n = A, m / / α, m / / β, n / / α, n / / β$ ，则 $α / / β$ . D、若 $α$ $⊥$ $β$ ， $a$ $\subset$ $α$ ，则 $a$ $⊥$ $β$

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7. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y \geq 0 \\ x \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最小值是（）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、9

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8. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数 $y = 2 \sin \frac{π}{8} x$ 的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中阴影部分小圆的周长均为 $4 π$ ，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{1}{36}$ B、 $\frac{1}{18}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{1}{8}$

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9. 如图所示， $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是长方体， $O$ 是 $B_{1} D_{1}$ 的中点，直线 $A_{1} C$ 交平面 $A B_{1} D_{1}$ 于点 $M$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A ， M ， O$ 三点共线 B、 $A ， M ， O ， A_{1}$ 不共面 C、 $A ， M ， C ， O$ 不共面 D、 $B ， B_{1} ， O ， M$ 共面

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10. 若直线 $l_{1} : y = k x - k + 1$ 与直线 $l_{2}$ 关于点 $(3, 3)$ 对称，则直线 $l_{2}$ 一定过定点（）

A、 $(3, 1)$ B、 $(2, 1)$ C、 $(5, 5)$ D、 $(0, 1)$

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11. 坐标原点 $O (0, 0)$ 在动直线 $m (x - 2) + n (y - 2) = 0$ 上的投影为点 $P$ ，若点 $Q (- 1, - 1)$ ，那么 $| P Q |$ 的取值范围为（）

A、 $[\sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$ B、 $[\sqrt{2} ， 2 \sqrt{2}]$ C、 $[2 \sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$ D、 $[1 ， 3 \sqrt{2}]$

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12. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ， $C D$ 边的中点为 $E$ ，现将 $Δ A D E ， Δ B C E$ 分别沿 $A E ， B E$ 折起，使得 $C ， D$ 两点重合为一点记为 $P$ ，则四面体 $P - A B E$ 外接球的表面积是（）

A、 $\frac{17 π}{12}$ B、 $\frac{19 π}{12}$ C、 $\frac{19 π}{3}$ D、 $\frac{76 π}{3}$

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二、填空题

13. 直线 $y = x + 1$ 与直线 $y = k x - 1$ 垂直，则实数 $k$ 的值为

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14. 如图，这是某校高一年级一名学生七次数学测试成绩（满分100分）的茎叶图. 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是

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15. 两个男生一个女生并列站成一排，其中两男生相邻的概率为

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16. 已知点 $P (x, y)$ 是直线 $x + k y + 2 = 0 (k < 0)$ 上一动点， $P A, P B$ 是圆 $A$ 的两条切线， $A, B$ 为切点，若弦 $A B$ 长的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则实数 $k$ 的值为

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三、解答题

17. 如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中， $PA ⊥$ 平面ABCD，PA=AB，E是PD的中点.

(1)、求证： $PB / /$ 平面EAC；

(2)、求证：平面 $PDC ⊥$ 平面PAD．

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18. “有黑扫黑、无黑除恶、无恶治乱”，维护社会稳定和和平发展.扫黑除恶期间，大量违法分子主动投案，某市公安机关对某月连续7天主动投案的人员进行了统计， $y$ 表示第 $x$ 天主动投案的人数，得到统计表格如下：

$x$

1

2

3

4

5

6

7

$y$

3

4

5

5

5

6

7

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、若 $y$ 与 $x$ 具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、判定变量 $x$ 与 $y$ 之间是正相关还是负相关.（写出正确答案，不用说明理由）

(3)、预测第八天的主动投案的人数（按四舍五入取到整数）.

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19. 已知动点 $M$ 与两个定点 $O (0, 0) ， A (3, 0)$ 的距离之比为 $\frac{1}{2}$ ；

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、过点 $M$ 所代表的曲线外一点 $P (3, 3)$ 作该曲线的两条切线，切点分别为 $B, C$ ，求 $∠ B P C$ 的正弦值；

(3)、若点 $M$ 所代表的曲线内有一点 $Q (0, 1)$ ,求过点 $Q$ 且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线与此曲线所截得的弦长.

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20. 每当《我心永恒》这首感人唯美的歌曲回荡在我们耳边时，便会想起电影《泰坦尼克号》中一暮暮感人画面，让我们明白了什么是人类的“真、善、美”.为了推动我市旅游发展和带动全市经济，更为了向外界传递遂宁人民的“真、善、美”.我市某地将按“泰坦尼克号”原型

1 ： 1

比例重新修建.为了了解该旅游开发在大众中的熟知度，随机从本市

20 \sim 70

岁的人群中抽取了

a

人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该旅游开发将在我市哪个地方建成？”，统计结果如下表所示：

组号	分组	回答正确的人数	回答正确的人数占本组的频率
第 $1$ 组	$[20 ， 30)$	$10$	$0.5$
第 $2$ 组	$[30 ， 40)$	$x$	$0.9$
第 $3$ 组	$[40 ， 50)$	$54$	$m$
第 $4$ 组	$[50 ， 60)$	$n$	$0.36$
第 $5$ 组	$[60 ， 70)$	$y$	$0.2$

(1)、求出

m (x + y + n)

的值；

(2)、从第

2 ， 3 ， 4

组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取

6

人，求第

2 ， 3 ， 4

组每组抽取的人数；

(3)、在（2）中抽取的

6

人中随机抽取

2

人，求所抽取的人中恰好没有年龄在

[30 ， 40)

段的概率.

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21. 如图，已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $F$ 是 $A_{1} E$ 上一点，且 $A_{1} F = 2 F E$ .

(1)、证明： $A F ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、求二面角 $B - A_{1} E - B_{1}$ 余弦值的大小.

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22. 已知过定点 $(1, 1)$ 且与直线 $y = x$ 垂直的直线与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A 、 B$ ，点 $C (\frac{\sqrt{2}}{2} ， m)$ 满足 $| C A | = | C B |$ .

(1)、若以原点为圆心的圆 $E$ 与 $Δ A B C$ 有唯一公共点，求圆 $E$ 的轨迹方程；

(2)、求能覆盖 $Δ A B C$ 的最小圆的面积；

(3)、在（1）的条件下，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在直线 $3 x + 2 y - 4 = 0$ 上，圆 $E$ 上总存在两个不同的点 $M 、 N$ 使得 $\vec{O M} + \vec{O N} = \vec{O P}$ $(O$ 为坐标原点），求 $x_{0}$ 的取值范围.

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