江苏省无锡市2019-2020学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-01-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $x < a < 0$ ，则下列不等式一定成立的是 $($ $)$

A、 $x^{2} < ax < a^{2}$ B、 $x^{2} > ax > a^{2}$ C、 $x^{2} < a^{2} < ax$ D、 $x^{2} > a^{2} > ax$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (0 ， 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2 ， 1)$ .若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与向量 $\vec{c} = (m ， 2 ， n)$ 平行，则实数 $n$ 的值是（）

A、6 B、-6 C、4 D、-4

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3. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{32} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

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4. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（）

A、三分鹿之一 B、三分鹿之二 C、一鹿 D、一鹿、三分鹿之一

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 为单调递增数列，设其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 2$ ， $S_{3} = 7$ ，则 $a_{5}$ 的值为（）

A、16 B、32 C、8 D、 $\frac{1}{4}$

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6. 下列不等式或命题一定成立的是（）
① $\lg (x^{2} + \frac{1}{4}) \geq \lg x (x > 0)$ ；② $\sin x + \frac{1}{\sin x} \geq 2 (x \neq k π ， k \in Ζ)$ ；③ $x^{2} + 1 \geq 2 | x | (x \in R)$ ；④ $y = \frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{x^{2} + 2} (x \in R)$ 最小值为2.

A、①② B、②③ C、①③ D、②④

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7. 已知关于 $x$ 的不等式 $(a^{2} - 4) x^{2} + (a - 2) x - 1 \geq 0$ 的解集为空集，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， \frac{6}{5}]$ B、 $[- 2 ， \frac{6}{5})$ C、 $(- \frac{6}{5} ， 2]$ D、 $(- \infty ， 2] \cup [2 ， + \infty)$

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8. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 3$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、 $192$ B、 $96$ C、 $93$ D、 $189$

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9. 若正数 $a$ 、 $b$ 满足 $a b = 2 (a + b) + 5$ ，设 $y = (a + b - 4) (12 - a - b)$ ，则 $y$ 的最大值是（）

A、12 B、-12 C、16 D、-16

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10. 正四面体 $A B C D$ 的棱长为2， $E$ 、 $F$ 分别为 $B C$ 、 $A D$ 的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的值为（）

A、-2 B、4 C、2 D、1

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $e$ ，若椭圆上存在点 $P$ ，使得 $\frac{P F_{1}}{P F_{2}} = e$ ，则该离心率 $e$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{2} - 1 ， 1)$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ C、 $(0 ， \sqrt{2} - 1]$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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12. 当 $n$ 为正整数时，定义函数 $N (n)$ 表示 $n$ 的最大奇因数.如 $N (3) = 3 ， N (10) = 5 ， \dots ， S (n) = N (1) + N (2) + N (3) + \dots + N (2^{n})$ ，则 $S (5) =$ （）

A、342 B、345 C、341 D、346

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二、填空题

13. 命题 $p ：$ “ $\forall x > 0$ ，都有 $x^{2} - x \geq 0$ ”的否定：.

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14. 不等式 $\frac{x - 1}{x} > 3$ 的解集是．

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为2，焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为

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16. 已知 $a b = \frac{1}{2}$ ， $a ， b \in (0 ， 1)$ 那么 $\frac{1}{1 - a} + \frac{2}{1 - b}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} + a_{5} = 25$ ， $S_{5} = 55$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $a_{n} b_{n} = \frac{1}{3 n - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = a - \frac{1}{| x |}$ ．

(1)、若 $f (x) \leq 2 x$ 对 $x \in$ (0，2)恒成立，求实数a的取值范围；

(2)、当a＝1时，解不等式 $f (x) \geq 2 x$ ．

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19. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，曲线 $C$ 上的动点 $M (x ， y) (x > 0)$ 到点 $F (2 ， 0)$ 的距离减去 $M$ 到直线 $x = - 1$ 的距离等于1.

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = k (x + 2)$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求证：直线 $F A$ 与直线 $F B$ 的倾斜角互补.

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20. 某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增．
（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f(n)，试写出f(n)的表达式；
（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）。

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21. 如图 $1$ ，在高为 $6$ 的等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，且 $A B = 12$ ， $C D = 6$ ，将它沿对称轴 $O O_{1}$ 折起，使平面 $A D O_{1} O ⊥$ 平面 $B C O_{1} O$ ，如图 $2$ ，点 $P$ 为 $B C$ 的中点，点 $E$ 在线段 $A B$ 上(不同于 $A$ ， $B$ 两点)，连接 $O E$ 并延长至点 $Q$ ，使 $A Q / / O B$ .

(1)、证明： $O D ⊥$ 平面 $P A Q$ ；

(2)、若 $B E = 2 A E$ ，求二面角 $C - B Q - A$ 的余弦值.

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22. 已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x_{2}}{a_{2}} + \frac{y_{2}}{b_{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )，F为左焦点，A为上顶点， $B (2 ， 0)$ 为右顶点，若 $\sqrt{7} | \overset{⇀}{A F} | = 2 | \overset{⇀}{A B} |$ ，抛物线 $C_{2}$ 的顶点在坐标原点，焦点为F．

(1)、求 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、是否存在过F点的直线，与 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 交点分别是P，Q和M，N，使得 $S_{△ O P Q} = \frac{1}{2} S_{△ O M N}$ ？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．

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