江苏省南通巿2019-2020学年高二上学期数学第一次教学质量调研试卷

试卷更新日期：2020-01-16 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 抛物线 x²=-2y 的准线方程为（）

A、 $x = \frac{1}{8}$ B、 $y = \frac{1}{8}$ C、 $x = \frac{1}{2}$ D、 $y = \frac{1}{2}$

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2. 若双曲线E： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} =$ 1的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，点P是双曲线上的一点，且PF₁＝2，则PF₂＝（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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3. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y {}^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 经过点 $(4, \sqrt{6})$ ，则该双曲线的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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4. 已知椭圆 $C : x^{2} + \frac{y^{2}}{n} = 1 (n > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $n$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ 或 $4$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ 或 $2$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 若实数 $k$ 满足 $0 < k < 9$ ，则曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9 - k} = 1$ 与曲线 $\frac{x^{2}}{25 - k} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的（）

A、离心率相等 B、虚半轴长相等 C、实半轴长相等 D、焦距相等

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6. 已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{m^{2}} + y^{2} = 1$ ( $m > 1$ )与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{n^{2}} - y^{2} = 1$ ( $n > 0$ )的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则 $e_{1} \cdot e_{2}$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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7. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M$ 到抛物线焦点 $F$ 的距离等于 $2 p$ ，则直线 $M F$ 的斜率为（）

A、 $\pm \sqrt{3}$ B、 $\pm 1$ C、 $\pm \frac{3}{4}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 已知直线y＝kx+1与焦点在x轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b} =$ 1（b＞0）总有公共点，则b的取值范围是（）

A、[1，4） B、（1，+∞） C、[1，+∞） D、[1，2）

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9. 已知双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 2$ ，过右焦点的直线交双曲线于 $A, B$ 两点，若 $A, B$ 中点的横坐标为4，则弦 $A B$ 长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、6 D、 $6 \sqrt{2}$

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $F$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点，过点 $F$ 作两条相互垂直的直线 $l_{1}, l_{2}$ ， $l_{1}, l_{2}$ 分别与抛物线交于点 $A, B$ 和 $C, D$ ，记 $A B$ 的中点为 $M$ ， $C D$ 的中点为 $N$ ，则 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的最小值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11. 设P，Q分别是圆 $x^{2} + {(y - 6)}^{2} = 2$ 和椭圆 $\frac{x^{2}}{10} + y^{2} = 1$ 上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{46} + \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $7 + \sqrt{2}$

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12. 过点 $M (1, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 交于 $A 、 B$ 两点，若 $A M = 2 M B$ 则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{14}}{7}$

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二、填空题

13. 若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上的一点， $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则 $Δ F_{1} P F_{2}$ 的面积为.

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > 0, b > 0)$ 的右焦点作垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ ， $l$ 与双曲线的渐近线交于 $A 、 B$ 两点，且三角形 $A B O$ 为等腰直角三角形，若双曲线的顶点到它的渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ，则双曲线的标准方程为.

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15. 如图，已知 $Δ O A P$ 和 $Δ A B Q$ 均为等边三角形，它们的边长分别 $m ， n$ ，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 恰好经过点 $P ， Q$ ，则 $\frac{m}{n} =$ .

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点，当 $O$ 到直线 $A B$ 的距离为1时，则 $Δ O A B$ 面积的最大值为.

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $D$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，且经过点 $(2, 3)$ ，直线 $l : y = x - 2$ 交双曲线于 $A, B$ 两点，连结 $O A, O B$ .

(1)、求双曲线方程；

(2)、求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值.

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18. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，直线 $l : y = x + m$ 与抛物线交于 $A, B$ 两点， $P (- 1, 6)$ 是抛物线准线上的点，连结 $P A, P B$ .

(1)、若 $m = - 1$ ，求 $A B$ 长；

(2)、若 $Δ P A B$ 是以 $P A, P B$ 为腰的等腰三角形，求 $m$ 的值.

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19. 已知F₁ ， F₂分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =$ 1（＞b＞0）的左、右焦点，过F₂且不与x轴垂直的动直线l与椭圆交于M，N两点，点P是椭圆C右准线上一点，连结PM，PN，当点P为右准线与x轴交点时有2PF₂＝F₁F₂ ．

(1)、求椭圆C的离心率；

(2)、当点P的坐标为（2，1）时，求直线PM与直线PN的斜率之和．

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20. 如图，马路 $l$ 南边有一小池塘，池塘岸 $M N$ 长40米，池塘的最远端 $O$ 到 $l$ 的距离为400米，且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路 $A B ， B C ， C D$ ，且 $A B ， B C ， C D$ 均与小池塘岸线相切，记 $∠ B A D = θ$ .

(1)、求小路的总长，用 $θ$ 表示；

(2)、若在小路与小池塘之间（图中阴影区域）铺上草坪，求所需铺草坪面积最小时， $\tan θ$ 的值.

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的焦距为 $2, A, B$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右顶点， $M, N$ 为椭圆 $C$ 上的两点(异于 $A, B$ )，连结 $A M, B N, M N$ ，且 $B N$ 斜率是 $A M$ 斜率的 $3$ 倍.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、证明:直线 $M N$ 恒过定点.

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22. 已知椭圆C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} =$ 1（a＞b＞0）经过点（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，1），F（0，1）是C的一个焦点，过F点的动直线l交椭圆于A，B两点．

(1)、求椭圆C的方程

(2)、是否存在定点M（异于点F），对任意的动直线l都有k_MA+k_MB＝0，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

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