甘肃省兰州市联片办学2019-2020学年高二上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-01-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“存在 $x_{0} \in R, 2^{x_{0}} \leq 0$ ”的否定是（）

A、不存在 $x_{0} \in R, 2^{x_{0}} > 0$ B、存在 $x_{0} \in R, 2^{x_{0}} \geq 0$ C、对任意的 $x \in R, 2^{x} \leq 0$ D、对任意的 $x \in R, 2^{x} > 0$

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2. 设 $α \in R$ ，则“ $sin α = \frac{1}{2}$ ”是“ $α = \frac{π}{6}$ ”的 $($ $)$

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知f(x)＝sin x＋cos x＋ $\frac{π}{2}$ ，则 $f^{'}$ $(\frac{π}{2})$ 等于（）

A、－1＋ $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{2}$ ＋1 C、1 D、－1

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4. 关于命题p：若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角；命题q：存在x∈R，使得sin x＋cos x＝ $\frac{3}{2}$ .下列说法中正确的是（）

A、“p∨q”是真命题 B、“p∧q”是假命题 C、 $\neg p$ 为假命题 D、 $\neg q$ 为假命题

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5. 椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦距是2，则m的值是（）

A、5 B、5或8 C、3或5 D、20

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6. 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数f(x)＝x³－px²－qx的图像与x轴切于(1，0)点，则函数f(x)的极值是（）

A、极大值为 $\frac{4}{27}$ ，极小值为0 B、极大值为0，极小值为 $\frac{4}{27}$ C、极大值为0，极小值为－ $\frac{4}{27}$ D、极大值为－ $\frac{4}{27}$ ，极小值为0

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8. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一条渐近线经过点 $(3 ， - 4)$ ，则此双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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9. 若直线y＝2x与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a＞0，b＞0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（）

A、(1， $\sqrt{5}$ ) B、( $\sqrt{5}$ ，＋∞) C、(1， $\sqrt{5}$ ] D、[ $\sqrt{5}$ ，＋∞)

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10. 定义在R上的可导函数 f(x)=x²+ 2xf′(2)+15，在闭区间[0，m]上有最大值15，最小值-1，则m的取值范围是（）

A、m≥2 B、2≤m≤4 C、m≥4 D、4≤m≤8

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11. 设函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 ln x$ 在区间 $[a - 1 ， a + 1]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(1 ， 3]$

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12. 已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点， $A ， B$ 分别为 $C$ 的左，右顶点． $P$ 为 $C$ 上一点，且 $P F ⊥ x$ 轴．过点 $A$ 的直线 $l$ 与线段 $P F$ 交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ．若直线 $B M$ 经过 $O E$ 的中点，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题

13. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象在点M（1 ， f（1））处的切线方程是 $y = 3 x$ +2，
则 $f (1) + f^{'} (1)$ 的值等于

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14. 已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ – $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．

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15. 已知函数f(x)=kx³+3(k-1)x²-k²+1(k>0)在（0，4）上是减函数，则实数k的取值范围是

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16. 如图，F₁ ， F₂是双曲线C₁：x²－ $\frac{y^{2}}{3}$ ＝1与椭圆C₂的公共焦点，点A是C₁ ， C₂在第一象限的公共点．若|F₁F₂|＝|F₁A|，则C₂的离心率是．

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三、解答题

17. 已知命题p： $\lg (x^{2} - 2 x - 2) \geq 0$ ；命题q： $| 1 - \frac{x}{2} | < 1$ .若p是真命题，且q是假命题，求实数x的取值范围.

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18. 设函数 $f (x) = e^{x} - x - 2$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \in [- 3 ， 2]$ 时，求函数的最值．

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19. 已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点M(4,1)，N(2,2).

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若斜率为1的直线与椭圆C交于不同的两点，且点M到直线l的距离为 $\sqrt{2}$ ，求直线l的方程.

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20. 设函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x$ 在 $x = 1$ 和 $x = - 1$ 处有极值，且 $f (1) = - 1$ ，求 $a ， b ， c$ 的值，并求出相应的极值.

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21. 已知Rt△AOB的三个顶点都在抛物线y²＝2px上，其中直角顶点O为原点，OA所在直线的方程为y＝ $\sqrt{3}$ x，△AOB的面积为6 $\sqrt{3}$ ，求该抛物线的方程．

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22. 设函数f(x)＝(x＋2)²－2ln(x＋2)．
(Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若关于x的方程f(x)＝x²＋3x＋a在区间[－1，1]上只有一个实数根，求实数a的取值范围．

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