北京市石景山区2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-01-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1}$ ， $B = {x \in N | x < 3}$ ，那么集合 $A \cup B$ 等于（）

A、 $[- 1, 3)$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${- 1, 0, 1, 2}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2, 3}$

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2. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.35，则仅用非现金支付的概率为（）

A、0.2 B、0.4 C、0.5 D、0.8

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3. 中学生在家务劳动中能更密切地与家人接触交流，也可缓解压力、休息大脑．经调查，某校学生有 $70 %$ 的学生认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽， $30 %$ 的学生认为自己是否参与家务劳动对家庭关系无影响．现为了调查学生参加家务劳动时长情况，决定在两类同学中利用分层抽样的方法抽取100名同学参与调查，那么需要抽取认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学的个数是（）

A、30 B、70 C、80 D、100

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4. 从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 1}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $[- 1, + \infty)$ D、 $[- 1, 1) \cup (1, + \infty)$

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6. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = - x^{2} + 1$ C、 $y = e^{- x}$ D、 $y = \lg | x |$

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7. 在同一直角坐标系中，函数 $f (x) = x^{a} (x \geq 0) ， g (x) = {log}_{a} x$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 池塘里浮萍的生长速度极快，它覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一倍．若一个池塘在第30天时，刚好被浮萍盖满，则浮萍覆盖池塘一半的面积是（）

A、第 $15$ 天 B、第 $20$ 天 C、第 $25$ 天 D、第 $29$ 天

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9. 已知向量 $\vec{a} = (4, x)$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ ，那么“ $x = 2$ ”是“ $\vec{a}$ // $\vec{b}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的统计表如下表所示,则有以下四种说法：
甲

环数

4

5

6

7

8

频数

1

1

1

1

1

乙

环数

5

6

9

频数

3

1

1

①甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数；   ②甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数；

③甲成绩的方差小于乙成绩的方差；       ④甲成绩的极差小于乙成绩的极差．

其中正确命题的个数是（    ）（注： $s^{2} = \frac{1}{n} [{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}]$ ，其中 $\bar{x}$ 为数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 在平行四边形 $A B C D$ 中，已知向量 $\vec{A B} = (1, 2)$ ， $\vec{A D} = (2, 3)$ ，则 $\vec{A C} =$ ．

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12. 已知函数 $f (x)$ 是指数函数，如果 $f (3) = 9 f (1)$ ，那么 $f (8)$ $f (4)$ （请在横线上填写“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ”）

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13. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 20$ ，则 $\lg a + \lg b$ 的最大值为．

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14. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ．若关于 $x$ 的方程 $f (x) - m = 0$ 有四个不同的实数解，则实数 $m$ 的取值范围是．

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三、解答题

15. 设集合 $A = {x | a - 1 < x < 2 a, a \in R}$ ，不等式 $x^{2} - 2 x - 8 < 0$ 的解集为B．

(1)、当 $a = 0$ 时，求集合A，B；

(2)、当 $A \subseteq B$ 时，求实数a的取值范围．

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16. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球 $A_{1}, A_{2}$ 和1个白球 $B$ 的甲箱与装有2个红球 $a_{1}, a_{2}$ 和2个白球 $b_{1}, b_{2}$ 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。
（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；

（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。

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17. 为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成 $[2 ， 4) ， [4 ， 6) ， [6 ， 8) ， [8 ， 10) ， [10 ， 12]$ 五组，得到频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数；

（Ⅱ）若测试数据与成绩之间的关系如下表：

测试数据（单位：米）

$(0 ， 6)$

$[6 ， 8)$

$[8 ， 12)$

成绩

不合格

及格

优秀

根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定两人的成绩是否优秀之间没有影响，求两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x - 3}{x + 1}$ ．

(1)、判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明其结论；

(2)、求函数f（x）在区间[2，9]上的最大值与最小值．

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (2 + x) - \log_{a} (2 - x)$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的定义域；

（Ⅱ）判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

（Ⅲ）解关于x的不等式 $f (x) \geq \log_{a} (3 x)$ ．

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20. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族 $S$ 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当 $S$ 中 $x %$ （ $0 < x < 100$ ）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 $f (x) = {\begin{array}{l} 30 ， 0 < x \leq 30 \\ 2 x + \frac{1800}{x} - 90 ， 30 < x < 100 \end{array}$ （单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受 $x$ 影响，恒为 $40$ 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

(1)、当 $x$ 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)、求该地上班族 $S$ 的人均通勤时间 $g (x)$ 的表达式；讨论 $g (x)$ 的单调性，并说明其实际意义．

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测试数据（单位：米）	$(0 ， 6)$	$[6 ， 8)$	$[8 ， 12)$
成绩	不合格	及格	优秀

环数	4	5	6	7	8
频数	1	1	1	1	1

环数	5	6	9
频数	3	1	1