北京市海淀区2019-2020学年高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-01-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $A = {1 ， 3 ， 5}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4}$ ，则集合 $A \cap ∁_{U} B$ 是（）

A、 ${1 ， 3 ， 5 ， 6}$ B、 ${1 ， 3 ， 5}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${1 ， 5}$

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2. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点坐标为（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(0, - 1)$ D、 $(0, 1)$

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3. 下列直线与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ 相切的是（）

A、 $y = - x$ B、 $y = x$ C、 $y = - 2 x$ D、 $y = 2 x$

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4. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ，且 $a > b$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\sin a > \sin b$ C、 ${(\frac{1}{3})}^{a} < {(\frac{1}{3})}^{b}$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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5. 在 ${(x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为（）

A、 $- 5$ B、 $5$ C、 $- 10$ D、 $10$

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6. 已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{c} | = 1$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 已知 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 是三个不同的平面，且 $α \cap γ = m$ ， $β \cap γ = n$ ，则“ $m // n$ ”是“ $α // β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知等边 $Δ A B C$ 边长为 $3$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上，且 $B D > C D$ ， $A D = \sqrt{7}$ .下列结论中错误的是（）

A、 $\frac{B D}{C D} = 2$ B、 $\frac{S_{Δ A B D}}{S_{Δ A C D}} = 2$ C、 $\frac{\cos ∠ B A D}{\cos ∠ C A D} = 2$ D、 $\frac{\sin ∠ B A D}{\sin ∠ C A D} = 2$

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9. 声音的等级 $f (x)$ （单位： $d B$ ）与声音强度 $x$ （单位： $W / m^{2}$ ）满足 $f (x) = 10 \times \lg \frac{x}{1 \times 10^{- 12}}$ . 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为 $140 d B$ ；一般说话时，声音的等级约为 $60 d B$ ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）

A、 $10^{6}$ 倍 B、 $10^{8}$ 倍 C、 $10^{10}$ 倍 D、 $10^{12}$ 倍

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10. 若点 $N$ 为点 $M$ 在平面 $α$ 上的正投影，则记 $N = f_{α} (M)$ .如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，记平面 $A B_{1} C_{1} D$ 为 $β$ ，平面 $A B C D$ 为 $γ$ ，点 $P$ 是棱 $C C_{1}$ 上一动点（与 $C$ 、 $C_{1}$ 不重合） $Q_{1} = f_{γ} [f_{β} (P)]$ ， $Q_{2} = f_{β} [f_{γ} (P)]$ .给出下列三个结论：

①线段 $P Q_{2}$ 长度的取值范围是 $[\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ；②存在点 $P$ 使得 $P Q_{1} //$ 平面 $β$ ；③存在点 $P$ 使得 $P Q_{1} ⊥ P Q_{2}$ .其中，所有正确结论的序号是（）

A、①②③ B、②③ C、①③ D、①②

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二、填空题

11. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中,若 $a_{2} = 5, a_{5} = 2$ ,则 $a_{7} =$ .

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12. 若复数 $z = \frac{1 + i}{i}$ ，则 $| z | =$ .

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13. 已知点 $A (0, \sqrt{3})$ ，点 $B$ 、 $C$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的左、右顶点.若 $Δ A B C$ 为正三角形，则该双曲线的离心率为.

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14. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{x}$ 在区间 $(1 ， 4)$ 上存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 用“五点法”作函数

f (x) = A \sin (ω x + φ)

的图象时，列表如下：

$x$	$- \frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{5}{4}$	$2$	$\frac{11}{4}$
$ω x + φ$	$0$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
$f (x)$	$0$	$2$	$0$	$- 2$	$0$

则 $f (- 1) =$ ， $f (0) + f (- \frac{1}{2}) =$ .

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16. 已知曲线 $C : x^{4} + y^{4} + m x^{2} y^{2} = 1$ （ $m$ 为常数）.
（i）给出下列结论：

①曲线 $C$ 为中心对称图形；

②曲线 $C$ 为轴对称图形；

③当 $m = - 1$ 时，若点 $P (x, y)$ 在曲线 $C$ 上，则 $| x | \geq 1$ 或 $| y | \geq 1$ .

其中，所有正确结论的序号是.

（ii）当 $m > - 2$ 时，若曲线 $C$ 所围成的区域的面积小于 $π$ ，则 $m$ 的值可以是.（写出一个即可）

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x - \frac{1}{2}$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

（Ⅱ）若 $f (x)$ 在区间 $[0 ， m]$ 上的最大值为 $1$ ，求 $m$ 的最小值.

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18. 如图，在三棱锥 $V - A B C$ 中，平面 $V A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $Δ A B C$ 和 $Δ V A C$ 均是等腰直角三角形， $A B = B C$ ， $A C = C V = 2$ ， $M$ 、 $N$ 分别为 $V A$ 、 $V B$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $A B //$ 平面 $C M N$ ；

（Ⅱ）求证： $A B ⊥ V C$ ；

（Ⅲ）求直线 $V B$ 与平面 $C M N$ 所成角的正弦值.

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19. 某市《城市总体规划（

2016 - 2035

年）》提出到

2035

年实现“

15

分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身

4

个方面构建“

15

分钟社区生活圈”指标体系，并依据“

15

分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为

0.6 \sim 1

）、良好小区（指数为

0.4 \sim 0.6

）、中等小区（指数为

0.2 \sim 0.4

）以及待改进小区（指数为

0 \sim 0.2

）

4

个等级.下面是三个小区

4

个方面指标的调查数据：

注：每个小区“ $15$ 分钟社区生活圈”指数 $T = w_{1} T_{1} + w_{2} T_{2} + w_{3} T_{3} + w_{4} T_{4}$ ，其中 $w_{1}$ 、 $w_{2}$ 、 $w_{3}$ 、 $w_{4}$ 为该小区四个方面的权重， $T_{1}$ 、 $T_{2}$ 、 $T_{3}$ 、 $T_{4}$ 为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为 $0 ~ 1$ 之间的一个数值）.

现有 $100$ 个小区的“ $15$ 分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：

分组	$[0 ， 0.2)$	$[0.2 ， 0.4)$	$[0.4 ， 0.6)$	$[0.6 ， 0.8)$	$[0.8 ， 1]$
频数	$10$	$20$	$30$	$30$	$10$

（Ⅰ）分别判断 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个小区是否是优质小区，并说明理由；

（Ⅱ）对这 $100$ 个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取 $10$ 个小区进行调查，若在抽取的 $10$ 个小区中再随机地选取 $2$ 个小区做深入调查，记这 $2$ 个小区中为优质小区的个数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点 $A (2, 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设 $O$ 为原点，过点 $O$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于两点 $P$ 、 $Q$ ，直线 $A P$ 和 $A Q$ 分别与直线 $x = 4$ 交于点 $M$ 、 $N$ ，求 $Δ A P Q$ 与 $Δ A M N$ 面积之和的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} (a x^{2} + 1) (a > 0)$ .
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 有极小值，求证： $f (x)$ 的极小值小于 $1$ .

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22. 给定整数 $n (n \geq 2)$ ，数列 $A_{2 n + 1} : x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $\dots$ 、 $x_{2 n + 1}$ 每项均为整数，在 $A_{2 n + 1}$ 中去掉一项 $x_{k}$ ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为 $m_{k} (k = 1, 2, \dots, 2 n + 1)$ . 将 $m_{1}$ 、 $m_{2}$ 、 $\dots$ 、 $m_{2 n + 1}$ 中的最小值称为数列 $A_{2 n + 1}$ 的特征值.
（Ⅰ）已知数列 $A_{5} : 1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $3$ 、 $3$ ，写出 $m_{1}$ 、 $m_{2}$ 、 $m_{3}$ 的值及 $A_{5}$ 的特征值；

（Ⅱ）若 $x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{2 n + 1}$ ，当 $[i - (n + 1)] [j - (n + 1)] \geq 0$ ，其中 $i$ 、 $j \in {1, 2, \dots, 2 n + 1}$ 且 $i \neq j$ 时，判断 $| m_{i} - m_{j} |$ 与 $| x_{i} - x_{j} |$ 的大小关系，并说明理由；

（Ⅲ）已知数列 $A_{2 n + 1}$ 的特征值为 $n - 1$ ，求 $\sum_{1 \leq i < j \leq 2 n + 1} | x_{i} - x_{j} |$ 的最小值.

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