2016-2017学年河南省平顶山市高一下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2017-08-04 类型：期末考试

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一、选择题

1. 若sinα=﹣ $\frac{5}{13}$ ，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、﹣ $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、﹣ $\frac{5}{12}$

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2. 某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（　　）

A、9 B、18 C、27 D、36

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3. 为了得到函数y=2sin（ $\frac{x}{3}$ + $\frac{π}{6}$ ），x∈R的图象，只需要把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点（）

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{3}$ 倍（纵坐标不变） B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{3}$ 倍（纵坐标不变） C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的3倍（纵坐标不变） D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的3倍（纵坐标不变）

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4. 样本容量为200的频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，总体数据落在[2，10）内的概率约为（）

A、0.2 B、0.4 C、0.8 D、0.9

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5. 若函数f（x）=sin²x﹣ $\frac{1}{2}$ （x∈R），则f（x）是（）

A、最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的奇函数 B、最小正周期为π的奇函数 C、最小正周期为2π的偶函数 D、最小正周期为π的偶函数

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6. 已知△ABC和点M满足 $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ ．若存在实数m使得 $\vec{A B} + \vec{A C} = m \vec{A M}$ 成立，则m=（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 若cos α=﹣ $\frac{4}{5}$ ，α是第三象限的角，则sin（α+ $\frac{π}{4}$ ）=（）

A、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$

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8. 某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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9. 函数y= $\frac{1}{2} s i n 2 x + s i n^{2}$ x，x∈R的递减区间为（）

A、 $[k π - \frac{π}{8} ， k π + \frac{π}{8}] ， k \in Z$ B、 $[\frac{k π}{2} - \frac{π}{8} ， \frac{k π}{2} + \frac{π}{8}] ， k \in Z$ C、 $[k π + \frac{3 π}{8} ， k π + \frac{7 π}{8}] ， k \in Z$ D、 $[\frac{k π}{2} + \frac{3 π}{8} ， \frac{k π}{2} + \frac{7 π}{8}] ， k \in Z$

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10. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为非零向量，满足 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a} ； (\vec{b} - 2 \vec{a}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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11. 如图，点A为周长为3的圆周上的一定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = s i n (\frac{3 π}{4} - x) - \sqrt{3} c o s (x + \frac{π}{4}) ， x \in R$ ，则f（x）是（）

A、周期为π，图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称的函数 B、最大值为2，图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称的函数 C、周期为2π，图象关于点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 对称的函数 D、最大值为2，图象关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称的函数

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二、填空题：

13. $\frac{s i n 47 ° - s i n 17 ° c o s 30 °}{c o s 17 ° (s i n 20 ° c o s 10 ° - c o s 160 ° s i n 10 °)}$ = ．

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14. 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是．

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15. 连掷两次骰子得到点数分别为m和n，记向量 $\vec{a}$ =（m，n）与向量 $\vec{b}$ =（1，﹣1）的夹角为θ，则θ∈（0， $\frac{π}{2}$ ）的概率是

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16. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (2 ， - 3)$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{c} + \vec{a}) ∥ \vec{b} ， \vec{c} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{c}$ 用基底 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的线性表示为

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三、解答题：

17. 已知7cos²α﹣sinαcosα﹣1=0，α∈（ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{2}$ ），求cos2α和 $s i n (2 α + \frac{π}{4})$ 的值．

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18. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，随机抽取了6个试销售数据，得到第i个销售单价x_i（单位：元）与销售y_i（单位：件）的数据资料，算得 $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} = 51 ， \sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 480 ， \sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 4066 ， \sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 434.2 ．$

(1)、求回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）
附：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\overset{\land}{b}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\overset{\land}{a}$ = $\bar{y}$ ﹣ $\overset{\land}{b} \bar{x}$ ，其中 $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ 是样本平均值．

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19. 设函数f（x）=sin（ $\frac{π x}{4}$ ﹣ $\frac{π}{6}$ ）﹣2cos² $\frac{π x}{8}$ +1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当x∈[0， $\frac{4}{3}$ ]时y=g（x）的最大值．

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20. 设关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．

(1)、若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

(2)、若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

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21. 已知向量 $\vec{a}$ =（cosα，sinα）， $\vec{b}$ =（cosβ，sinβ）， $\vec{c}$ =（{1，0）．

(1)、求向量 $\vec{b}$ + $\vec{c}$ 的长度的最大值；

(2)、设α= $\frac{π}{4}$ ， $\frac{17 π}{12}$ ＜β＜ $\frac{7 π}{4}$ ，且 $\vec{a}$ ⊥（ $\vec{b}$ ﹣ $\frac{3 \sqrt{2}}{5} \vec{c}$ ），求 $\frac{s i n 2 β - 2 s i n^{2} β}{1 + t a n β}$ 的值．

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22. 我市为了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]并绘制出频率分布直方图，如图所示．

(1)、求频率分布直方图中的a值，及该市学生汉字听写考试的平均分；

(2)、设A，B，C三名学生的考试成绩在区间[80，90）内，M，N两名学生的考试成绩在区间[60，70）内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N中至少有一人被选中的概率．

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