吉林省长春市榆树市2019-2020学年高二上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-01-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 不等式 $x^{2} + 4 x < 5$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (5, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 5) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 5)$ D、 $(- 5, 1)$

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2. 若p∧q是假命题，则（）

A、p是真命题，q是假命题 B、p、q均为假命题 C、p、q至少有一个是假命题 D、p、q至少有一个是真命题

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3. 函数 $f (x) = 4 x^{2}$ +e的导函数是（）

A、 $f' (x) = 8 x + 1$ B、 $f' (x) = 4 x$ C、 $f' (x) = 8 x$ D、 $f' (x) = 2 x$

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4. 下列条件中,使“ ${\begin{matrix} x > 0 \\ x - 2 < 0 \end{matrix}$ ”成立的充分不必要条件是（）

A、 $0 < x < 1$ B、 $0 < x < 2$ C、 $0 < x < 3$ D、 $- 1 < x < 1$

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5. 命题“对任意 $x \in R$ ,都有 $x^{2} \geq 0$ ”的否定为（）

A、对任意 $x \in R$ ,都有 $x^{2} \geq 0$ B、不存在 $x \in R$ ,使得 $x^{2} < 0$ C、存在 $x_{0} \in R$ ,使得 $x_{0}^{2} \geq 0$ D、存在 $x_{0} \in R$ ,使得 $x_{0}^{2} < 0$

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6. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $B = 60^{\circ}$ ，则 $A =$ （）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$ D、 $30^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$

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7. 等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q = 3$ ,则 $\frac{a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7}}{a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8}}$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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8. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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9. 数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ ，则 $S_{5}$ 等于（）

A、1 B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{30}$

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10. 在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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11. 已知正实数 $x, y$ 满足 $x + y = 3$ ，则 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值（）

A、2 B、3 C、4 D、 $\frac{10}{3}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上可导且满足 $x f' (x) + f (x) > 0$ ，则下列一定成立的为（）

A、 $π f (π) > e f (e)$ B、 $f (π) < f (e)$ C、 $\frac{f (π)}{π} < \frac{f (e)}{e}$ D、 $f (π) > f (e)$

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二、填空题

13. 已知 $x > 0$ ，则 $x + \frac{1}{x}$ 取最小值是．

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14. 已知点P在拋物线 $y^{2} = 16 x$ 上，且点P到y轴的距离6，则点P到焦点的距离为.

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15. 函数y=xe^x在其极值点处的切线方程为．

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16. 对于曲线C： $\frac{x^{2}}{4 - k} + \frac{y^{2}}{k - 1} = 1$ ，给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；

②当1<k<4时，曲线C是椭圆；

③若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4；

④若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 $1 < k < \frac{5}{2}$ ；

其中正确命题的序号为．

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三、解答题

17. 已知 $a, b, c$ 分别是 $Δ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边.若 $Δ A B C$ 面积 $S_{Δ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2}, c = 2, A = 60^{°}$ 求 $a, b$ 的值；

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18. 设等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} ＝ - 6 ， a_{10} = 8.$

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 及使得 $S_{n}$ 最小的序号n的值.

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19. 某企业生产甲、乙两种产品均需用 $A ， B$ 两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示：

(1)、设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 $x ， y$ 吨，试写出关于 $x ， y$ 的线性约束条件并画出可行域；

(2)、如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润.

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20. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n}$ ；

(1)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n - 1}}$ ．证明：数列 ${b_{n}}$ 是等差数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 。

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21. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 3]$ 上的最小值；

（Ⅱ）若存在 $x \in [\frac{1}{e} ， e]$ 使不等式 $2 f (x) \geq - x^{2} + a x - 3$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $(2, \sqrt{2})$ 在 $C$ 上

(1)、求 $C$ 的方程

(2)、直线 $l$ 不过原点 $O$ 且不平行于坐标轴， $l$ 与 $C$ 有两个交点 $A, B$ ，线段 $A B$ 的中点为 $M$ .证明：直线 $O M$ 的斜率与直线 $l$ 的斜率的乘积为定值.

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