吉林省长春市榆树市2019-2020学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-01-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、即不充分也不必要条件

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2. 已知 $x > 0$ ，则函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 下列曲线中离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 的是（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$

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4. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A = 60^{\circ} ， A B = 2$ 且 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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5. 若抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点坐标为 $(0 ， 3)$ ，则 $p =$ （）

A、12 B、6 C、3 D、 $\frac{3}{2}$

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上有一点M到左焦点 $F_{1}$ 的距离为18，则点M到右焦点 $F_{2}$ 的距离是（）

A、8 B、28 C、8或28 D、12

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7. 在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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8. 已知正实数 $x ， y$ 满足 $x + y = 3$ ，则 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值（）

A、2 B、3 C、4 D、 $\frac{10}{3}$

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9. 短道速滑队组织6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内）进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为 $p$ ，“乙得第二名”为 $q$ ，“丙得第三名”为 $r$ ，若 $p \lor q$ 是真命题， $p \land q$ 是假命题， $(\neg q) \land r$ 是真命题，则选拔赛的结果为（）

A、甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名 B、甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名 C、甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名 D、甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名

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10. 递增的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} a_{5} = 128$ ， $a_{3} + a_{4} = 24$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $\frac{n}{2}$ B、 ${(\frac{1}{2})}^{n}$ C、 $2 n$ D、 $2^{n}$

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11. 若向量 $\vec{a} = (1 ， λ ， 1) ， \vec{b} (2 ， - 1 ， - 2)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角余弦为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ ，则 $λ$ 等于（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ 或 $\sqrt{2}$ D、2

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12. 如图，在 $60 °$ 二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若 $A B = A C = B D = 4$ ，则线段CD的长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、16 C、8 D、 $4 \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 在如图所示的长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A_{1} (2 ， 0 ， 1)$ ， $C (0 ， 3 ， 0)$ ，则点 $B_{1}$ 的坐标为 .

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14. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y - 2 \geq 0 \\ x - y + 3 \geq 0 \\ x \leq 2 \end{array} ，$ 则 $z = 2 x + y$ 的最大值为.

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15. 若命题“∃t∈R，t²-2t-a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是 .

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16. 设F₁ ， F₂为椭圆C： $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF₁F₂为等腰三角形，则M的坐标为。

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三、解答题

17. 设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， $a = 2 b \sin A$ .

(1)、求B的大小．

(2)、若 $a = 3 \sqrt{3}$ ， $c = 5$ ，求b.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 满足a₁=b₁=1，a₂+a₄=10，b₂b₄=a₅ ．
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求和： $b_{1} + b_{3} + b_{5} + \dots + b_{2 n - 1}$ ．

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19. 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：

	产品A(件)	产品B(件)
研制成本与塔载费用之和(万元/件)	20	30	计划最大资金额300万元
产品重量(千克/件)	10	5	最大搭载重量110千克
预计收益(万元/件)	80	60

试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ 且 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ ．

(1)、求证：数列 ${a_{n} + 3}$ 是等比数列，求出它的通项公式；

(2)、求数列 ${n (a_{n} + 3)}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ，$ $∠ A B C = ∠ B A D = 90 ° ，$ $A D = A P = 4 ， A B = B C = 2$ ， $M ， N$ 为线段 $P C ， A D$ 上一点不在端点.

(1)、当 $M$ 为中点时， $A N = \frac{1}{4} A D$ ，求证： $M N ∥$ 面 $P B A$

(2)、当 $N$ 为 $A D$ 中点时，是否存在 $M$ ，使得直线 $M N$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由.

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22. 已知椭圆 $C : x^{2} + 2 y^{2} = 4$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的离心率；

(2)、设 $O$ 为原点，若点 $A$ 在直线 $y = 2$ 上，点 $B$ 在椭圆 $C$ 上，且 $O A ⊥ O B$ ，求线段 $A B$ 长度的最小值．

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