辽宁省大连市西岗区2019届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-01-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下面数学符号，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ 的顶点坐标是（）

A、（﹣1，2） B、（﹣1，﹣2） C、（1，﹣2） D、（1，2）

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3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sinA的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是（）

A、35° B、140° C、70° D、70°或 140°

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5. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6， $\frac{A D}{A B} = \frac{3}{7}$ ，则EC的长是（）

A、4.5 B、8 C、10.5 D、14

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6. 已知扇形的弧长为3πcm，半径为6cm，则此扇形的圆心角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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7. 已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（　　）

A、t=20v B、t= $\frac{20}{v}$ C、t= $\frac{v}{20}$ D、t= $\frac{10}{v}$

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8. 如图，P(x，y)是反比例函数y＝ $\frac{3}{x}$ 的图象在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积（）

A、不变 B、增大 C、减小 D、无法确定

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9. 中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入300美元，预计2018年年收入将达到1500美元，设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（　　）

A、300（1+x）²＝1500 B、300（1+2x）＝1500 C、300（1+x²）＝1500 D、300+2x＝1500

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10. 已知：二次函数y＝ax²+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示：

x

…

﹣1

0

1

2

…

y

…

0

3

4

3

…

那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（）

A、（1，4） B、（2，0） C、（3，0） D、（4，0）

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二、填空题

11. 函数y＝- $\frac{3}{x - 1}$ 的自变量的取值范围是.

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12. 如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，若OD＝3，则弦AB的长为.

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13. 点A（1，6）、B（2，n）都在反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 的图象上，则n的值为.

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14. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加即可（只需添加一个条件）.

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15. 如图，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，此时A′B′⊥AC于D，已知∠A＝51°，则∠B′CB的度数是.

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16. 如图，已知双曲线y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C.若△OBC的面积为3，则k＝.

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三、解答题

17.

(1)、解方程：x²+4x﹣5＝0

(2)、 $\sqrt{4}$ +（ $\frac{1}{2}$ ）^﹣¹﹣2cos30°+（2﹣π）⁰

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18. 如图，已知等腰三角形ADC，AD＝AC，B是线段DC上的一点，连结AB，且有AB＝DB.

(1)、求证：△ADB∽△CDA；

(2)、若DB＝2，BC＝3，求AD的值.

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19. 如图，建筑物的高CD为17.32米，在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为30°，请你计算旗杆的高度.（ $\sqrt{3}$ ≈1.732，结果精确到0.1米）

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20. 某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面高度为4.4米.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米.请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？

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21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y₁＝ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y₂＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）.

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、根据图象，直接写出y₁＞y₂时x的取值范围.

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22. 【发现】x⁴﹣5x²+4＝0是一个一元四次方程.

(1)、【探索】根据该方程的特点，通常用“换元法”解方程：
设x²＝y，那么x⁴＝y² ，于是原方程可变为.

解得：y₁＝1，y₂＝.

当y＝1时，x²＝1，∴x＝±1；

当y＝时，x²＝， ∴x＝；

原方程有4个根，分别是.

(2)、【应用】仿照上面的解题过程，求解方程： $\frac{2 x}{x + 1} + \frac{x + 1}{2 x} = 2$ .

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23. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为BE上一点，以OB为半径的⊙O交AB于点E，交AC于点D.BD平分∠ABC.

(1)、求证：AC为⊙O切线；

(2)、点F为 $\overset{⌢}{B E}$ 的中点，连接BF，若BC＝ $\frac{32}{5}$ ，BD＝8，求⊙O半径及DF的长.

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24. 如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，过点C作CE⊥AD于点E，CE＝4，△CDE沿射线DA平移，当CE经过点B时，运动停止.设点D的平移距离为x，平移后的三角形与四边形ABCD的重合部分面积为y，y与x的函数图象如图2所示：

(1)、图中DE＝；

(2)、求BC的长；

(3)、求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围.

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25. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在三角形内取一点D，AD＝AC，∠CAD＝30°，求∠ADB.

小明通过探究发现，∠DAB＝∠DCB＝15°，BC＝AD，这样就具备了一边一角的图形特征，他果断延长CD至点E，使CE＝AB，连接EB，造出全等三角形，使问题得到解决.

(1)、按照小明思路完成解答，求∠ADB；

(2)、参考小明思考问题的方法，解答下列问题：
如图2，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别为BC、AC、AB上一点，连接DE，延长FE、DF分别交BC、CA延长线于点G、H，若∠DHC＝∠EDG＝2∠G.

①在图中找出与∠DEC相等的角，并加以证明；

②若BG＝kCD，猜想DE与DG的数量关系并证明.

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26. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且过点（2，﹣3a）.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、抛物线上是否存在一点P，过点P作PM⊥BD，垂足为点M，PM＝2DM？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.

(3)、在（2）的条件下，求△PMD的面积.

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x	…	﹣1	0	1	2	…
y	…	0	3	4	3	…