广东省佛山市顺德区龙江镇2018-2019学年八年级下学期数学第三次月考试卷

试卷更新日期：2020-01-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若 $x < y$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $- x + 2 < - y + 2$ B、 $4 x > 4 y$ C、 $x - 2 < y - 2$ D、 $- 3 x < - 3 y$

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3. 若分式 $\frac{x - 2}{x - 1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq 1$ B、 $x \neq 2$ C、 $x = 1$ D、 $x = 2$

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4. 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，那么它的底边长为（）

A、4或6 B、4 C、6 D、5

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5. 如图，把△ABC绕着点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠1＝30°，则∠BAE＝（）

A、10° B、30° C、40° D、70°

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6. 下列因式分解正确的是（）

A、 $x^{2} - 4 = (x + 4) (x - 4)$ B、 $x^{2} + 2 x + 1 = x (x + 2) + 1$ C、 $2 x + 4 = 2 (x + 2)$ D、 $3 m x - 6 m y = 3 m (x - 6 y)$

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7. 下列式子不能因式分解的是（）

A、x²-1 B、2x²+x C、－x²－9 D、x²-4x+4

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8. 方程 $\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x}$ 的解是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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9. 不等式组 ${\begin{matrix} x + 2 > 0 \\ 2 x - 4 \leq 0 \end{matrix}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $D$ 为 $A C$ 边的中点， $E$ 为 $B C$ 边的延长线上一点， $C E = C D$ ， $D M ⊥ B C$ 于点 $M$ .下列结论错误的是（）

A、 $B M = 3 C M$ B、 $B M = E M$ C、 $C M = \frac{1}{2} C E$ D、 $D M = 2 C M$ .

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二、填空题

11. 分解因式： $a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2} =$ ．

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12. 在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣3）向右平移3个单位后得到点B ，则点B的坐标为.

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13. 化简： $\frac{a^{2}}{a - 1} - \frac{1}{1 - a} =$ .

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14. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为米.

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15. 已知x+y=6，xy=3，则x²y+xy²的值为.

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16. 商场有一种小商品进价为 $8$ 元，出售标价为 $12$ 元，后来由于积压，准备打折销售，但要保证利润率不低于 $5 %$ ，则最多可打折.

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三、解答题

17. 解不等式组： ${\begin{matrix} x - 3 (x - 1) \geq 5 \\ \frac{x - 3}{5} - 1 < \frac{x + 1}{2} \end{matrix}$

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18. 先化简后求值：（ $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$ ）÷ $\frac{x}{2 x^{2} - 2}$ ，其中x＝ $\sqrt{2}$ .

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19. 在平面直角坐标系中， $Δ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 2 ， 1)$ ， $B (- 4 ， 5)$ ， $C (- 5 ， 2)$ .

(1)、画出 $Δ A B C$ 关于原点 $O$ 成中心对称的 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出 $Δ A B C$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 的 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ .

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20. 为改善城市排水系统，某市需要新铺设一段全长为 $3000 m$ 的排水管道.为了减少施工对城市交通的影响，实际施工时每天的工效是原计划的 $1.2$ 倍，结果提前 $5$ 天完成这一任务.

(1)、这个工程队原计划每天铺设管道多少 $m$ ？

(2)、在这项工程中，如果要求工程队提前 $6$ 天完成任务，那么实际施工时每天的工效比原计划增加的百分率是多少？

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21. 如图，在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，将 $Δ A B C$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转 $n (0 < n < 90)$ 度后，得到 $Δ D E C$ ，点 $D$ 刚好落在 $A B$ 边上.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若 $A C = 6$ ，求 $D F$ 的长.

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22. 如图，△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，DE垂直平分BC ，连接BD.

(1)、尺规作图：过点D作AB的垂线，垂足为F.（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、求证：点D到BA ， BC的距离相等.

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23.

(1)、计算下列各式，并寻找规律：
① $1 - \frac{1}{2^{2}}$ =（_+_）（_-_）=

② $1 - \frac{1}{3^{2}}$ =（_+_）（_-_）=_；

(2)、运用（1）中所发现的规，计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) (1 - \frac{1}{5^{2}})$ ；

(3)、猜想 $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{9^{2}}) (1 - \frac{1}{10^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{n^{2}})$ 的结果，并写出推理过程.

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24. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b$ 的图象经过点 $A (- 1 ， 0)$ 与点 $B (2 ， 3)$ ，且与正比例函数 $y_{2} = m x$ 的图象相交于点 $C$ .

(1)、由图可知，求不等式 $k x + b \leq 0$ 的解集

(2)、若不等式 $k x + b > m x$ 的解集是 $x > - \frac{1}{2}$ .
①求点 $C$ 的坐标；

②求 $m$ 的值.

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25. 如图，已知 $Δ B A D$ 和 $Δ B C E$ 均为等腰直角三角形， $∠ B A D = ∠ B C E = 90 °$ ，点 $M$ 为 $D E$ 的中点.过点 $E$ 与 $A D$ 平行的直线交射线 $A M$ 于点 $N$ .

(1)、当 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点在同一直线上时（如图1），求证： $M$ 为 $A N$ 的中点；

(2)、将图1中 $Δ B C E$ 绕点 $B$ 旋转，当 $A$ 、 $B$ 、 $E$ 三点在同一直线上时（如图2），求证： $Δ C A N$ 为等腰直角三角形；

(3)、在（2）条件下，已知 $A D = 1$ ， $C E = \sqrt{2}$ ，求 $A N$ 的长.

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