百师联盟2020届高三文数模拟试卷四（全国卷Ⅰ）

试卷更新日期：2020-01-14 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1. 已知复数z= $\frac{5 i}{3 + i}$ ，则 $\bar{z}$ =（）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$

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2. 保险公司新推出A，B，C三款不同的储蓄型保险，已知购买这三款保险的人数分别为600、400、300，公司为增加投保人数，现采用分层抽样的方法抽取26人进行红包奖励，则从购买C款保险的人中抽取的人数为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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3. 若用列举法表示集合 $A = {(x, y) | {\begin{cases} 2 x + y = 6 \\ x - y = 3 \end{cases}}$ ，则下列表示正确的是（）

A、{x=3，y=0} B、{（3，0）} C、{3，0} D、{0，3}

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4. 新高考改革后，某校2000名学生参加物理学考，该校学生物理成绩的频率分布直方图如图所示，若规定分数达到90分以上为A级，则该校学生物理成绩达到A级的人数是（）

A、600 B、300 C、60 D、30

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5. 已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的侧面积为（）

A、π B、2π C、6π D、12π

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6. 已知凸四边形ABCD的面积为S，点P是四边形内部任意一点，若点P到四条边AB，BC，CD，DA的距离分别为d₁ ， d₂ ， d₃ ， d₄ ，且满足 $\frac{A B}{1} = \frac{B C}{2} = \frac{C D}{3} = \frac{D A}{4} = k$ ，利用分割法可得d₁+2d₂+3d₃+4d₄= $\frac{2 S}{k}$ ；类比以上性质，体积为V的三棱锥P-ABC，点Q是三棱锥内部任意一点，Q到平面PAB，PBC，PAC，ABC的距离分别为D₁ ， D₂ ， D₃ ， D₄ ，若 $\frac{S_{Δ P A B}}{1} = \frac{S_{Δ P B C}}{2} = \frac{S_{Δ P A C}}{3} = \frac{S_{Δ A B C}}{4} = K$ ，则D₁+2D₂+3D₃+4D₄=（）

A、 $\frac{V}{K}$ B、 $\frac{2 V}{K}$ C、 $\frac{3 V}{K}$ D、 $\frac{4 V}{K}$

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7. 已知F₁ ， F₂是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>b>0）的两个焦点，C的上顶点A在圆（x-2）²+（y-1）²=4上，若∠F₁AF₂= $\frac{2 π}{3}$ ，则椭圆C的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$

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8. 如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（）

A、6π+12 B、10π+36 C、5π+36 D、6π+18

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9. 执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）

A、- $\frac{3}{2}$ B、- $\frac{1}{3}$ C、2 D、-2

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10. 已知函数f（x）=sin $\frac{π x}{6}$ cos $\frac{π x}{6}$ - $\sqrt{3}$ sin² $\frac{π x}{6}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，x∈[-1，a]，a∈N*，若函数f（x）图象与直线y=1至少有2个交点，则a的最小值为（）

A、7 B、9 C、11 D、12

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11. 函数f（x）=（a+1）x²+bx-2（a>0，b>0）在点P（1、f（1））处的切线斜率为4，则 $\frac{8 a + b}{a b}$ 的最小值为（）

A、10 B、9 C、8 D、 $3 \sqrt{2}$

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12. 已知数列{a_n}满足a_n=4×3^n-1 ， n=N*，现将该数列按右图规律排成一个数阵（如图所示第i行有i个数），设S_n为该数阵的前n项和，则满足S_n>2020时，n的最小值为（）

A、20 B、21 C、26 D、27

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量 $\vec{a}$ =（m-3，2）， $\vec{b}$ =（-1，1），若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则| $2 \vec{a} - \vec{b}$ |=.

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14. 哥德巴赫在1742年写给欧拉的信中提出了著名的哥德巴赫猜想，其内容是“任一大于2的偶数都可写成两个质数之和”，如10=3+7.在大于10且小于30的所有质数中，随机选取两个不同的数，其和等于40的概率为.

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15. 已知点P是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ （a>1）上的动点，点M为圆O：x²+x²=1上的动点，且 $\vec{O M} \cdot \vec{P M} = 0$ ，若|PM|的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则双曲线C的离心率为.

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16. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x）=f（2-x），当x∈[0，1]时，f（x）=x·2^x.则方程f（x）-|lgx|=0的根的个数为.

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三、解答题

17. 在四边形ABCD中，BC=3，CD=1，C=2A，cosA= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求△BCD的面积；

(2)、若cos∠ABD= $\frac{1}{3}$ ，求AB的长.

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18. 如图在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC= $\frac{π}{2}$ ，PA=AD=CD=4，AB=2，E为侧棱PD中点.

(1)、设F为棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得平面AEF∥平面PBC，并写出证明过程；

(2)、求点B到平面PCD的距离.

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19. 已知函数地f（x）=alnx-x+1（a=R）

(1)、求函数f（x）的单调区间；

(2)、当a<0时，对任意的x₁ ， x₂=（0，1]，（x₁<x₂），都有（x₁）-（x₂）<4（ $\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x {}_{2}}$ ），求实数a的取值范围.

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20. 出版商为了解某科普书一个季度的销售量y（单位：千本）和利润x（单位：元/本）之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到如下的10组数据.

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x	2.4	3.1	4.6	5.3	6.4	7.1	7.8	8.8	9.5	10
y	18.1	14.1	9.1	7.2	4.9	3.9	3.2	2.3	2.1	1.4

根据上述数据画出如图所示的散点图：

参考公式及参考数据：

①对于一组数据（u₁ ， v₁），（u₂ ， v₂），…，（u_n ， v_n），其回归直线 $v = \hat{α} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的公式分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

②参考数据：

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{u}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{10} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})$
6.50	6.63	1.75	82.50	2.70	-143.25	-27.54

表中u_i=Inx_i ， $\bar{u}$ = $\frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} u_{i}$ .另：In4.06≈1.40.计算时，所有的小数都精确到0.01.

(1)、根据图中所示的散点图判断y=ax+b和y=clnx+d哪个更适宜作为销售量y关于利润x的回归方程类型？（给出判断即可，不需要说明理由）；

(2)、根据（1）中的判断结果及参考数据，求出y关于x的回归方程；

(3)、根据回归方程预测当每本书的利润为10.5元时的季销售量.

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21. 在平面直角坐标系xOy中，不恒在坐标轴上的点P（x，y）（x≥0）到y轴的距离比它到点F（1，0）的距离小1，直线l与曲线C相切于点M，与直线x=-1交于点N.

(1)、求动点P的轨迹C的方程；

(2)、证明：以MN为直径的圆恒过定点。

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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C： ${\begin{cases} x = \sqrt{13} \sin θ + \sqrt{3} \cos θ ， \\ y = \sqrt{13} \cos θ - \sqrt{3} \sin θ ， \end{cases}$ （θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立根坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+ $\frac{π}{4}$ ）= $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求直线l和曲线C的直角坐标方程；

(2)、M（3，0），直线L和曲线C交于A、B两点，求 $\frac{1}{| M A |} + \frac{1}{| M B |}$ 的值.

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23. 已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-5|.

(1)、求不等式f（x）≤10的解集；

(2)、a，b均为正实数，若 $\frac{4}{a} + \frac{1}{b}$ 为函数f（x）的最小值，求实数a+2b的取值范围。

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