百师联盟2020届高三理数模拟试卷四（全国卷Ⅰ）

试卷更新日期：2020-01-14 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1. 若用列举法表示集合 $A = {(x, y) | {\begin{cases} 2 x + y = 6 \\ x - y = 3 \end{cases}}$ ，则下列表示正确的是（）

A、{x=3，y=0} B、{（3，0）} C、{3，0} D、{0，3}

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2. 已知复数z= $\frac{5 i}{3 + i}$ ，则 $\bar{z}$ =（）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$

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3. 新高考改革后，某校2000名学生参加物理学考，该校学生物理成绩的频率分布直方图如图所示，若规定分数达到90分以上为A级，则该校学生物理成绩达到A级的人数是（）

A、600 B、300 C、60 D、30

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4. 掷硬币实验是很常见却又非常有名的一个概率实验，许多著名的科学家都做过这个实验，比如蒲丰、德摩根等.通过掷硬币的实验，可以让人们感受到随机事件的发生，形成可能性的概率观念.若抛掷一枚硬币出现正面向上记为1，反面向上记为0.现抛掷一枚硬币6次，出现两个0和四个1的概率为（）

A、 $\frac{15}{64}$ B、 $\frac{5}{16}$ C、 $\frac{9}{16}$ D、 $\frac{5}{8}$

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5. 已知凸四边形ABCD的面积为S，点P是四边形内部任意一点，若点P到四条边AB，BC，CD，DA的距离分别为d₁ ， d₂ ， d₃ ， d₄ ，且满足 $\frac{A B}{1} = \frac{B C}{2} = \frac{C D}{3} = \frac{D A}{4} = k$ ，利用分割法可得d₁+2d₂+3d₃+4d₄= $\frac{2 S}{k}$ ；类比以上性质，体积为V的三棱锥P-ABC，点Q是三棱锥内部任意一点，Q到平面PAB，PBC，PAC，ABC的距离分别为D₁ ， D₂ ， D₃ ， D₄ ，若 $\frac{S_{Δ P A B}}{1} = \frac{S_{Δ P B C}}{2} = \frac{S_{Δ P A C}}{3} = \frac{S_{Δ A B C}}{4} = K$ ，则D₁+2D₂+3D₃+4D₄=（）

A、 $\frac{V}{K}$ B、 $\frac{2 V}{K}$ C、 $\frac{3 V}{K}$ D、 $\frac{4 V}{K}$

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6. 已知F₁ ， F₂是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>b>0）的两个焦点，C的上顶点A在圆（x-2）²+（y-1）²=4上，若∠F₁AF₂= $\frac{2 π}{3}$ ，则椭圆C的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$

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7. 如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（）

A、6π+12 B、10π+36 C、5π+36 D、6π+18

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8. 执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）

A、- $\frac{3}{2}$ B、- $\frac{1}{3}$ C、2 D、-2

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9. 已知函数f（x）=sin $\frac{π x}{6}$ cos $\frac{π x}{6}$ - $\sqrt{3}$ sin² $\frac{π x}{6}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，x∈[-1，a]，a∈N*，若函数f（x）图象与直线y=1至少有2个交点，则a的最小值为（）

A、7 B、9 C、11 D、12

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10. 在如图所示的圆锥中，平面ABC是轴截面，底面圆O'的面积为4π，∠ABC= $\frac{π}{3}$ ，则该圆锥的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{64 π}{3}$ B、 $\frac{16 π}{3}$ C、 $\frac{128 π}{3}$ D、32π

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11. 已知点P是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ （a>1）上的动点，点M为圆O：x²+y²=1上的动点，且 $\vec{O M} \cdot \vec{P M} = 0$ ，若|PM|的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x）=f（2-x），当x∈[0，1]时，f（x）=x·2^x.则方程f（x）-|lgx|=0的根的个数为（）

A、99 B、100 C、198 D、200

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量 $\vec{a}$ =（m-3，2）， $\vec{b}$ =（-1，1），若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则| $2 \vec{a} - \vec{b}$ |=.

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14. 12月4日为国家普法日，某校特举行普法知识竞赛，其中一个环节是从6道题中采用不放回的方式收取两道进行作答，选手甲能正确回答其中的4道题，则甲在第一次抽到的题能回答正确的条件下，第二次抽到的题也能回答正确的概率为.

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15. 函数f（x）=（a+1）x²+bx-2（a>0，b>0）在原P（1，f（1））处的切线斜率为4，则z=a²+b²的最小值为.

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16. 已知数列{a_n}和{b_n}，设S_n为数列{a_n}的前n项和，满足a₁=2，且对任意m，n∈N*，都有a_m+n=a_m·a_n ，若 $b_{n} = \frac{S_{n} (S_{n} + 2) + 1024}{a_{n}}$ ，则数列{b_n}的所有项中的最小值为.

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三、解答题：

17. 已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n²+4n（n=N*）.

(1)、证明数列{na_n}为等差数列；

(2)、若b=n a_n·2ⁿ ，求数列{b_n}的前n项和T_n.

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18. 如图在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC= $\frac{π}{2}$ ，PA=AD=CD=4，AB=2，E为侧棱PD中点.

(1)、设F为棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得平面AEF∥平面PBC，并写出证明过程；

(2)、求二面角A-PB-C的余弦值.

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19. 已知函数地f（x）=a（x-1）-（x+1）ln x，a=R.

(1)、当a=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

(2)、当x>1时，f（x）<0，求实数a的取值范围.

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20. 出版商为了解某科普书一个季度的销售量y（单位：千本）和利润x（单位：元/本）之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到如下的10组数据.

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x	2.4	3.1	4.6	5.3	6.4	7.1	7.8	8.8	9.5	10
y	18.1	14.1	9.1	7.2	4.9	3.9	3.2	2.3	2.1	1.4

根据上述数据画出如图所示的散点图：

参考公式及参考数据：

①对于一组数据（u₁ ， v₁），（u₂ ， v₂），…，（u_n ， v_n），其回归直线 $v = \hat{α} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的公式分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

②参考数据：

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{u}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{10} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})$
6.50	6.63	1.75	82.50	2.70	-143.25	-27.54

表中u_i=Inx_i ， $\bar{u}$ = $\frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} u_{i}$ .另：In4.06≈1.40.计算时，所有的小数都精确到0.01.

(1)、根据图中所示的散点图判断y=ax+b和y=clnx+d哪个更适宜作为销售量y关于利润x的回归方程类型？（给出判断即可，不需要说明理由）；

(2)、根据（1）中的判断结果及参考数据，求出y关于x的回归方程；

(3)、根据回归方程分析：设该科普书一个季度的利润总额为：（单位：千元），当季销售量y为何值时，该书一个季度的利润总额预报值最大？（季利润总额=季销售量×每本书的利润）

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21. 已知点F为抛物线C：x²=2py（p>0）的焦点，点M、N在抛物线上，且M、N、F三点共线.若圆P:（x-2）²+（y-3）²=16的直径为MN.

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、过点F的直线l与抛物线交于点A，B，分别过A、B两点作抛物线C的切线l₁ ， l₂ ，证明直线l₁ ， l₂的交点在定直线上，并求出该直线.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C： ${\begin{cases} x = \sqrt{13} \sin θ + \sqrt{3} \cos θ ， \\ y = \sqrt{13} \cos θ - \sqrt{3} \sin θ ， \end{cases}$ （θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立根坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+ $\frac{π}{4}$ ）= $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求直线l和曲线C的直角坐标方程；

(2)、M（3，0），直线L和曲线C交于A、B两点，求 $\frac{1}{| M A |} + \frac{1}{| M B |}$ 的值.

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23. 已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-5|.

(1)、求不等式f（x）≤10的解集；

(2)、a，b均为正实数，若 $\frac{4}{a} + \frac{1}{b}$ 为函数f（x）的最小值，求实数a+2b的取值范围。

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