吉林省长春六中、八中、十一中等省重点中学2019-2020学年高三理数12月联考试卷

试卷更新日期：2020-01-13 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $M = {x | \frac{1}{2} < 2^{x} < 8}$ ， $N = {x | x^{2} - 7 x + 6 < 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 3}$ B、 ${x | 3 < x < 6}$ C、 ${x | 1 < x < 6}$ D、 ${x | 1 < x < 3}$

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2. 若实数 $a$ ， $b$ 满足 $0 < a < 1$ ， $- 1 < b < 1$ ，则 $a - 2 b$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, 3)$ B、 $(- 3, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(- 2, 2)$

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3. 若 $a > 0 > b$ ，则下列不等式中恒成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a^{2} < b^{2}$

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4. 关于“ $a + b = 4$ ，则 $a$ ， $b$ 至少有一个等于 $2$ ”及其逆命题的说法正确的是（）

A、原命题为真，逆命题为假 B、原命题为假，逆命题为真 C、原命题与逆命题均为真命题 D、原命题与逆命题均为假命题

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5. 若数列 $- 1, 2, 5, 8, 11, x, \cdot \cdot \cdot$ 中的项按一定规律变化，则实数 $x$ 最有可能的值是（）

A、 $12$ B、 $13$ C、 $14$ D、 $15$

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6. 已知平面向量 $\vec{a} = (\sin θ, 2019)$ ， $\vec{b} = (\cos θ, 2020)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、 $\frac{2019}{2020}$ B、 $\frac{2020}{2019}$ C、 $- \frac{2019}{2020}$ D、 $- \frac{2020}{2019}$

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7. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y = 8$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是（）

A、 $8$ B、 $32$ C、 $16$ D、 $4$

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8. 若实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - y \geq 0 \\ x - 2 y \leq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $\frac{2^{x}}{4^{y}}$ 的最大值为（）

A、 $- 3$ B、 $2$ C、 $1$ D、 $0$

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9. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (3 + x) = f (3 - x)$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[3, + \infty)$ 上单调递减，且 $f (m) \geq f (0)$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[0, 6]$ C、 $[6, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0] \cup [6, + \infty)$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2}$ ， $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n}$ 则数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 满足（）

A、 $T_{n} = {(- 1)}^{n} \times n$ B、 $T_{n} = n$ C、 $T_{n} = - n$ D、 $T_{n} = {\begin{array}{l} n, n 为偶数， \\ - 2 n, n 为奇数 . \end{array}$

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11. 函数 $f (x) = \frac{e^{2 x}}{x}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 下列表述正确的是（）
① ${(\lg x + \frac{4}{\lg x})}_{\min} = 4 (x \in (1, 20))$ ；②若 $a > b > 0$ ，则 $\ln \frac{b}{a} < 0$ ；③若 $x$ ， $y$ ， $z$ 均是正数，且 $3^{x} = 4^{y} = 12^{z}$ ， $\frac{x + y}{z} \in (n, n + 1) (n \in N)$ ，则 $n$ 的值是 $4$ ；④若正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y + 15 = \frac{1}{x} + \frac{9}{y}$ ，且 $x + y \leq 1$ ，则 $x$ ， $y$ 均为定值

A、①②③ B、②④ C、②③ D、②③④

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二、填空题

13. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{a_{n}}}$ ， $a_{2} = 3$ ，则 $a_{2020} =$ ．

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 1, x \geq 0 \\ x^{2} + 1, x < 0 \end{array}$ ，则不等式 $f (a) < 2$ 的解集是．

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15. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 10) = f (x)$ ，若 $f (1) = 1$ ，则不等式 $f (31) > \log_{2} x$ 的解集为．

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16. 已知以区间 $(0, 2)$ 上的整数为分子，以 $2$ 为分母的数组成集合 $A_{1}$ ，其所有元素的和为 $a_{1}$ ；以区间 $(0, 2^{2})$ 上的整数为分子，以 $2^{2}$ 为分母组成不属于集合 $A_{1}$ 的数组成集合 $A_{2}$ ，其所有元素的和为 $a_{2}$ ；……依此类推以区间 $(0, 2^{n})$ 上的整数为分子，以 $2^{n}$ 为分母组成不属于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ … $A_{n - 1}$ 的数组成集合 $A_{n}$ ，其所有元素的和为 $a_{n}$ ，若数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2020} - S_{2019} =$ ．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a (\sin 2 x - \frac{π}{6}) - a + b (a ， b \in R ，且 a < 0)$ .

(1)、若当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 5 ， 1]$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、在（1）条件下，求函数 $f (x)$ 图像的对称中心.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 x + a (x \in R)$

(1)、若函数 $f (x)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) > 0$ 对任意的 $x \in [1, + \infty)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围。

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19. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $\frac{1}{2}$ ，且 $2 (1 - a_{3}) = 2 a_{1} + 3 a_{2}$ 。

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 8 n$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，试比较 $\frac{1}{T_{1}} + \frac{1}{T_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{T_{n}}$ 与 $\frac{1}{2} S_{n}$ 的大小.

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20. 已知在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ 且 $2 a \cos C + c = 2 b$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 1$ ，求 $Δ A B C$ 面积的最大值。

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21. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的所有项和为 $150$ ，且该数列前 $10$ 项和为 $10$ ，最后 $10$ 项的和为 $50$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的项数；

(2)、求 $a_{21} + a_{22} + \cdot \cdot \cdot + a_{30}$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x + 1 - \ln 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{4}, 4]$ 上的最值；

(2)、求证： $\frac{\ln 1^{2}}{1^{2}} + \frac{\ln 2^{2}}{2^{2}} + \frac{\ln 3^{2}}{3^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{\ln n^{2}}{n^{2}} < n + \frac{1}{n + 1} - \frac{3}{2} (n \in N^{*}$ 且 $n \geq 2)$ .

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