广西名校2019-2020学年高三上学期理数12月高考模拟试卷

试卷更新日期：2020-01-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {1, 2, 3, 4}$ ， $P = {(x, y) | x \in M, x - y \in M}$ ，则P的非空子集的个数是（）

A、7 B、15 C、63 D、64

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2. 定义运算 $| \begin{matrix} a, & b \\ c, & d \end{matrix} | = a d - b c$ ，若 $z = | \begin{matrix} 1, & 2 \\ i, & i^{2} \end{matrix} |$ ，则复数 $\bar{z}$ 对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 如图是国家统计局今年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图．（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论错误的是（）

A、2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨 B、2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌 C、2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大 D、2019年3月全国居民消费价格环比变化最快

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4. $(a^{2} + b^{2}) {(a - 2 b)}^{6}$ 的展开式中 $a^{4} b^{4}$ 的系数为（）

A、320 B、300 C、280 D、260

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5. 我国明代伟大数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（）

A、0.9升 B、1升 C、1.1升 D、2.1升

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6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、6 D、 $2 \sqrt{5}$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x - \ln x - 1}$ ，则 $y = f (x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图所给的程序运行结果为 $S = 41$ ，那么判断框中应填入的关于 $k$ 的条件是（）

A、 $k \geq 7$ B、 $k \geq 6$ C、 $k \geq 5$ D、 $k > 6$

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9. 已知点 $M$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上的一动点， $F$ 为抛物线的焦点， $A$ 是圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上一动点，则 $| M A | + | M F |$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右顶点 $A$ 作斜率为 $- 1$ 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 $B ， C$ ．若 $\vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ，则双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (- x)$ ，且当 $x \in (- \infty ， 0]$ 时， $f (x) + x f^{'} (x) < 0$ 成立，若 $a = (2^{0.6}) \cdot f (2^{0.6})$ ， $b = (ln 2) \cdot f (ln 2)$ ， $c = ({log}_{2}^{\frac{1}{8}}) \cdot f ({log}_{2}^{\frac{1}{8}})$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、a $> b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、c $> a > b$

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12. 已知半径为2的扇形AOB中， $∠ A O B = 120^{\circ}$ ，C是OB的中点，P为弧AB上任意一点，且 $\vec{O P} = λ \vec{O A} + μ \vec{O C}$ ，则 $λ + μ$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{21}}{3}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (m, 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (4 - n, 2)$ ， $m > 0$ ， $n > 0$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{8}{n}$ 的最小值．

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14. 若数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，且 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ；令 $b_{n} = {log}_{3} (a_{n} + 1)$ ，则 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{100} =$ ．

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15. 在锐角 $Δ A B C$ 中， $B > \frac{π}{6}$ ， $\sin (A + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ， $\cos (B - \frac{π}{6}) = \frac{4}{5}$ ，则 $\sin (A + B) =$ ．

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16. 在三棱锥 $V - A B C$ 中，面 $V A C ⊥$ 面 $A B C$ ， $V A = A C = 2$ ， $∠ V A C = 120 °$ ， $B A ⊥ B C$ 则三棱锥 $V - A B C$ 的外接球的表面积是

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = 1 + λ a_{n}$ ，其中 $λ \neq 0$ ．

(1)、证明 ${a_{n}}$ 是等比数列，并求其通项公式；

(2)、若 $S_{5} = \frac{33}{32}$ ，求 $λ$ ．

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18. 为推进“千村百镇计划”， $2018$ 年 $4$ 月某新能源公司开展“电动莆田绿色出行”活动，首批投放 $200$ 台 $P$ 型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月．试用到期后，为了解男女试用者对 $P$ 型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为 $100$ 分）．最后该公司共收回 $600$ 份评分表，现从中随机抽取 $40$ 份（其中男、女的评分表各 $20$ 份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：

(1)、求 $40$ 个样本数据的中位数 $m$ ；

(2)、已知 $40$ 个样本数据的平均数 $a = 80$ ，记 $m$ 与 $a$ 的最大值为 $M$ ．该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于 $M$ 的为“满意型”，评分小于 $M$ 的为“需改进型”．
①请根据 $40$ 个样本数据，完成下面 $2 \times 2$ 列联表：

根据 $2 \times 2$ 列联表判断能否有 $99 %$ 的把握认为“认定类型”与性别有关？

②为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别用分层抽样的方法，从中抽取8人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这8人中随机抽取3人进行二次试用，记这3人中男性人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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19. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，P是BC的中点，点Q是棱 $C C_{1}$ 上的动点．

(1)、点Q在何位置时，直线 $D_{1} Q$ ，DC，AP交于一点，并说明理由；

(2)、求三棱锥 $B_{1} - D B Q$ 的体积；

(3)、棱 $C C_{1}$ 上是否存在动点Q，使得 $D B_{1}$ 与平面 $A Q D_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$ ，若存在指出点Q在棱 $C C_{1}$ 上的位置，若不存在，请说明理由．

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20. 如图，中心为坐标原点O的两圆半径分别为 $r_{1} = 1$ ， $r_{2} = 2$ ，射线OT与两圆分别交于A、B两点，分别过A、B作垂直于x轴、y轴的直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 交 $l_{2}$ 于点P．

(1)、当射线OT绕点O旋转时，求P点的轨迹E的方程；

(2)、直线l： $y = k x + \sqrt{3}$ 与曲线E交于M、N两点，两圆上共有6个点到直线l的距离为 $\frac{1}{2}$ 时，求 $| M N |$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = ln (1 + x) - \frac{x (1 + λ x)}{1 + x}$ .
（Ⅰ）若 $x \geq 0$ 时， $f (x) \leq 0$ ，求 $λ$ 的最小值；

（Ⅱ）设数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ ，证明： $a_{2 n} - a_{n} + \frac{1}{4 n} > ln 2$ .

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22. 已知曲线C的极坐标方程是 $ρ = 1$ ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C经过伸缩变换 ${\begin{array}{l} x^{'} = \sqrt{2} x \\ y^{'} = y \end{array}$ 得到曲线E，直线l： ${\begin{array}{l} x = 1 + \frac{t}{2} \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （t为参数）与曲线E交于A，B两点，

(1)、设曲线C上任一点为 $M (x ， y)$ ，求 $x + \sqrt{3} y$ 的最小值；

(2)、求出曲线E的直角坐标方程，并求出直线l被曲线E截得的弦AB长；

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23. 已知函数 $f (x) = m - | x + 4 | (m > 0)$ ，且 $f (x - 2) \geq 0$ 的解集为 $[- 3 ， - 1]$
（Ⅰ）求 $m$ 的值；
（Ⅱ）若 $a$ ， $b$ ， $c$ 都是正实数，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{3 c} = m$ ，求证： $a + 2 b + 3 c \geq 9$ .

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