上海市浦东新区2019-2020学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-01-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若命题甲： $x - 1 = 0$ ，命题乙： $\lg^{2} x - \lg x = 0$ ，则命题甲是命题乙的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分也非必要条件

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2. 已知函数 $f^{- 1} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的反函数，且函数 $f (x - 1)$ 的图像经过点 $(1, 1)$ ，则函数 $f^{- 1} (x)$ 的图像一定经过点（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, 1)$

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3. 以抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{15} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$

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4. 动点 $A (x ， y)$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间 $t = 0$ 时，点 $A$ 的坐标是 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ ，则动点 $A$ 的纵坐标 $y$ 关于 $t$ （单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（）

A、 $[0 ， 3]$ B、 $[3 ， 6]$ C、 $[6 ， 9]$ D、 $[9 ， 12]$

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二、填空题

5. 若集合 $A = {x | 0 < x < 3}$ ，集合 $B = {x | x < 2}$ ，则 $A \cap B =$

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6. $\lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2}}{3 n^{2} + 1} =$

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7. 已知复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则|z|=

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8. 若关于 $x$ 、 $y$ 的方程组为 ${\begin{array}{l} x + y = 1 \\ x - y = 2 \end{array}$ ，则该方程组的增广矩阵为

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9. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{3} + a_{5} = 18$ ，则 $a_{n} =$

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10. 在 ${(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的二项展开式中，常数项的值为

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11. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为.

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12. 已知集合 $A = {- 2, - 1, - \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1, 2, 3}$ ，任取 $k \in A$ ，则幂函数 $f (x) = x^{k}$ 为偶函数的概率为（结果用数值表示）

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13. 在△ $A B C$ 中，边 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a + b = 6$ ， $∠ C = 120 °$ ，则边 $c$ 的最小值为

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14. 若函数 $y = a x + 2 a - \sqrt{1 - x^{2}}$ 存在零点，则实数 $a$ 的取值范围是

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n} + 1$ ，若对于任意的 $a \in [- 2, 2]$ ， $n \in N^{*}$ ，不等式 $\frac{a_{n + 1}}{n + 1} < 3 - a \cdot 2^{t}$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围为

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16. 如果方程组 ${\begin{array}{l} \sin x_{1} + \sin x_{2} + \cdot \cdot \cdot + \sin x_{n} = 0 \\ \sin x_{1} + 2 \sin x_{2} + \cdot \cdot \cdot + n \sin x_{n} = 2019 \end{array}$ 有实数解，则正整数 $n$ 的最小值是

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三、解答题

17. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形， $S D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $S D = A D = a$ ，点 $E$ 是线段 $S D$ 上任意一点.

(1)、求证： $A C ⊥ B E$ ；

(2)、试确定点 $E$ 的位置，使 $B E$ 与平面 $A B C D$ 所成角的大小为30°.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x + \sqrt{3} \sin 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、在△ $A B C$ 中， $\vec{B C} \cdot \vec{B A} = 6$ ，若函数 $f (x)$ 的图像经过点 $(B ， 2)$ ，求△ $A B C$ 的面积.

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19. 某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出 $5 x$ 户（ $x \in N^{*}$ ， $x \leq 9$ ）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了 $4 x %$ ，而从事水果销售的农户平均每户年收入为 $(3 - \frac{1}{5} x)$ 万元.

(1)、为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？

(2)、若一年后，该村平均每户的年收入为 $f (x)$ （万元），问 $f (x)$ 的最大值是否可以达到2.1万元？

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20. 已知曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ ，过点 $T (t, 0)$ 作直线 $l$ 和曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点.

(1)、求曲线 $C$ 的焦点到它的渐近线之间的距离；

(2)、若 $t = 0$ ，点 $A$ 在第一象限， $A H ⊥ x$ 轴，垂足为 $H$ ，连结 $B H$ ，求直线 $B H$ 倾斜角的取值范围；

(3)、过点 $T$ 作另一条直线 $m$ ， $m$ 和曲线 $C$ 交于 $E$ 、 $F$ 两点，问是否存在实数 $t$ ，使得 $\vec{A B} \cdot \vec{E F} = 0$ 和 $| \vec{A B} | = | \vec{E F} |$ 同时成立？如果存在，求出满足条件的实数 $t$ 的取值集合，如果不存在，请说明理由.

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21. 定义 $f (a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}) = | a_{1} - a_{2} | + | a_{2} - a_{3} | + \cdot \cdot \cdot + | a_{n - 1} - a_{n} |$ （ $n \in N$ ， $n \geq 3$ ）为有限实数列 ${a_{n}}$ 的波动强度.

(1)、求数列1，4，2，3的波动强度；

(2)、若数列 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 满足 $5 x^{2} y - [x y^{2} - 4 x y^{2} + 6 x^{2} y + x^{2} y] - 4 x y^{2}$ ，判断 $f (a, b, c, d) \leq f (a, c, b, d)$ 是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；

(3)、设数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $a_{n}$ 是数列 $1 + 2^{1}$ ， $2 + 2^{2}$ ， $3 + 2^{3}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $n + 2^{n}$ 的一个排列，求 $f (a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n})$ 的最大值，并说明理由.

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