上海市静安区2019-2020学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-01-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. “三个实数 $a, b, c$ 成等差数列”是“ $2 b = a + c$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 设 $x, y \in R$ ，若复数 $\frac{x + i}{y - i}$ 是纯虚数，则点 $p (x, y)$ 一定满足（）

A、 $y = x$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = - x$ D、 $y = - \frac{1}{x}$

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3. 若展开 $(a + 1) (a + 2) (a + 3) (a + 4) (a + 5)$ ，则展开式中 $a^{3}$ 的系数等于（）

A、在 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5$ 中所有任取两个不同的数的乘积之和 B、在 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5$ 中所有任取三个不同的数的乘积之和 C、在 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5$ 中所有任取四个不同的数的乘积之和 D、以上结论都不对

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4. 某人驾驶一艘小游艇位于湖面 $A$ 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东 $2 1^{\circ}$ 方向，且塔顶的仰角为 $1 8^{\circ}$ ，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达 $B$ 处，此时测得塔底位于北偏西 $39^{\circ}$ 方向，则该塔的高度约为（）

A、265米 B、279米 C、292米 D、306米

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二、填空题

5. 计算 $\lim_{n \to \infty} (1 - {0.9}^{n}) =$ .

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6. 在单位圆中， $60^{\circ}$ 的圆心角所对的弧长为.

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7. 若直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 的倾斜角分别为 $32^{\circ}$ 和 $152^{\circ}$ 则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的夹角为.

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8. 若直线 $l$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (2, 1)$ ，则若直线 $l$ 的斜率 $k =$ .

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9. 设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则 $7$ 小时后， $1$ 个此种细胞将分裂为个.

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10. 设 $Δ A B C$ 是等腰直角三角形，斜边 $A B = 2$ ,现将 $Δ A B C$ （及其内部）绕斜边 $A B$ 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为.

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11. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的值为.

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12. 三倍角的正切公式为 $\tan 3 α =$ .

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13. 设集合 $A$ 共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为.

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14. 现将函数 $y = \sec x, x \in (0, π)$ 的反函数定义为正反割函数，记为： $y = a r c \sec x$ .则 $a r c \sec (- 4) =$ .（请保留两位小数）

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15. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a + 1} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线上，若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则点 $P$ 到坐标原点 $O$ 的距离的最小值为.

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16. 设 $a > 0, a \neq 1, M > 0, N > 0 ，$ 我们可以证明对数的运算性质如下： $∵ a^{\log_{a} M + \log_{a} N} = a^{\log_{a} M} a^{\log_{a} N} = M N ， ①$ $∴ \log_{a} M N = \log_{a} M + \log_{a} N$ .我们将 $①$ 式称为证明的“关键步骤”.则证明 $\log_{a} M^{r} = r \log_{a} M$ （其中 $M > 0, r \in R$ ）的“关键步骤”为.

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三、解答题

17. 如图，在正六棱锥 $P - A B C D E F$ 中，已知底边为2，侧棱与底面所成角为 $60 °$ .

(1)、求该六棱锥的体积 $V$ ；

(2)、求证： $P A ⊥ C E$

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18. 请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.

(1)、如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形 $A B C D$ ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.

(2)、如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形 $A B C D$ ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.

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19. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列，公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、设 $a_{1} = 40$ ， $a_{6} = 38$ ，求 $S_{n}$ 的最大值.

(2)、设 $a_{1} = 1$ ， $b_{n} = 2^{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $T_{n} \leq 20$ ，求 $d$ 的取值范围.

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20. 已知抛物线Γ的准线方程为 $x + y + 2 = 0$ .焦点为 $F (1 ， 1)$ .

(1)、求证：抛物线Γ上任意一点 $P$ 的坐标 $(x ， y)$ 都满足方程： $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 8 x - 8 y = 0 ；$

(2)、请求出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；

(3)、设垂直于 $x$ 轴的直线与抛物线交于 $A 、 B$ 两点，求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.

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21. 现定义：设 $a$ 是非零实常数，若对于任意的 $x \in D$ ，都有 $f (a - x) = f (a + x)$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为“关于的 $a$ 偶型函数”

(1)、请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明

(2)、设定义域为的“关于的 $a$ 偶型函数”在区间 $(- \infty, a)$ 上单调递增，求证在区间 $(a, + \infty)$ 上单调递减

(3)、设定义域为 $R$ 的“关于 $\frac{1}{2}$ 的偶型函数” $y = f (x)$ 是奇函数，若 $n \in N^{*}$ ，请猜测 $f (n)$ 的值，并用数学归纳法证明你的结论

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