上海市嘉定区、长宁、金山区2019-2020学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-01-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $x \in R$ ，则“ $x > 0$ ”是“ $x > 1$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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2. 下列函数中，值域为 $(0, + \infty)$ 的是（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ C、 $y = \ln x$ D、 $y = \cos x$

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3. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $P$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点，设直线 $A B$ 为 $a$ ，直线 $A_{1} D_{1}$ 为 $b$ .对于下列两个命题：①过点 $P$ 有且只有一条直线 $l$ 与 $a$ 、 $b$ 都相交；②过点 $P$ 有且只有一条直线 $l$ 与 $a$ 、 $b$ 都成 $45 °$ 角.以下判断正确的是（）

A、①为真命题，②为真命题 B、①为真命题，②为假命题 C、①为假命题，②为真命题 D、①为假命题，②为假命题

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4. 某港口某天0时至24时的水深 $y$ （米）随时间 $x$ （时）变化曲线近似满足如下函数模型 $y = 0.5 \sin (ω π x + \frac{π}{6}) + 3.24$ （ $ω > 0$ ）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（）

A、16时 B、17时 C、18时 D、19时

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二、填空题

5. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {2 ， 4 ， 6 ， 8}$ ，则 $A \cap B =$ .

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6. 方程 $2^{x} = 3$ 的解为.

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7. 行列式 $| \begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} |$ 的值为.

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8. 计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{2 n}{n + 1} =$ .

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9. 若圆锥的侧面面积为 $2 π$ ，底面面积为 $π$ ，则该圆锥的母线长为.

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10. 已知向量 $\vec{A B} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $\vec{A C} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ ，则 $∠ B A C =$ .

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11. 2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有种.

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12. 已知点 $(- 2, y)$ 在角 $α$ 终边上，且 $\tan (π - α) = 2 \sqrt{2}$ ，则 $\sin α =$ .

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13. 近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工

A

、

B

两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中

A

，

B

两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了

A

、

B

两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：

支付金额（元）

支付方式

$(0, 1000]$

$(1000, 2000]$

大于2000

使用 $A$

18人

29人

23人

使用 $B$

10人

24人

21人

依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月 $A$ 、 $B$ 两种支付方式都使用过的概率为.

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14. 已知非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 两两不平行，且 $\vec{a} / / (\vec{b} + \vec{c})$ ， $\vec{b} / / (\vec{a} + \vec{c})$ ，设 $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$ ， $x, y \in R$ ，则 $x + 2 y =$ .

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} \in {a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}}$ $(n \in N^{*})$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若对所有满足条件的 ${a_{n}}$ ， $S_{10}$ 的最大值为 $M$ 、最小值为 $m$ ，则 $M + m =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = | x + \frac{1}{x} + a |$ ，若对任意实数 $a$ ，关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq m$ 在区间 $[\frac{1}{2} ， 3]$ 上总有解，则实数 $m$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 如图，底面为矩形的直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 满足： $A A_{1} = 4$ ， $A D = 3$ ， $C D = 2$ .

(1)、求直线 $A_{1} C$ 与平面 $A A_{1} D_{1} D$ 所成的角 $θ$ 的大小；

(2)、设 $M$ 、 $N$ 分别为棱 $B B_{1}$ 、 $C D$ 上的动点，求证：三棱锥 $N - A_{1} A M$ 的体积 $V$ 为定值，并求出该值.

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18. 在复平面内复数 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 所对应的点为 $Z_{1}$ 、 $Z_{2}$ ， $O$ 为坐标原点， $i$ 是虚数单位.

(1)、 $z_{1} = 1 + 2 i$ ， $z_{2} = 3 - 4 i$ ，计算 $z_{1} \cdot z_{2}$ 与 $\vec{O Z_{1}} \cdot \vec{O Z_{2}}$ ；

(2)、设 $z_{1} = a + b i$ ， $z_{2} = c + d i$ （ $a, b, c, d \in R$ ），求证： $| \vec{O Z_{1}} \cdot \vec{O Z_{2}} | \leq | z_{1} \cdot z_{2} |$ ，并指出向量 $\vec{O Z_{1}}$ 、 $\vec{O Z_{2}}$ 满足什么条件时该不等式取等号.

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19. 如图，某城市有一矩形街心广场 $A B C D$ ，如图.其中 $A B = 4$ 百米， $B C = 3$ 百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池 $D M N$ 种植荷花，其中点 $M$ 在 $B C$ 边上，点 $N$ 在 $A B$ 边上，要求 $∠ M D N = \frac{π}{4}$ .

(1)、若 $A N = C M = 2$ 百米，判断 $Δ D M N$ 是否符合要求，并说明理由；

(2)、设 $∠ C D M = θ$ ，写出 $Δ D M N$ 面积的 $S$ 关于 $θ$ 的表达式，并求 $S$ 的最小值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项的和，且 $a_{n}, S_{n}, a_{n}^{2} (n \in N^{*})$ 成等差数列.

(1)、写出 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 的值，并猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、证明（1）中的猜想；

(3)、设 $b_{n} = t a_{n} - 1 (t > 0)$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.若对于任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $T_{n} \in {b_{m} | m \in N^{*}}$ ，求实数 $t$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = x | x - a |$ ，其中 $a$ 为常数.

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) < 2$ ；

(2)、已知 $g (x)$ 是以2为周期的偶函数，且当 $0 \leq x \leq 1$ 时，有 $g (x) = f (x)$ .若 $a < 0$ ，且 $g (\frac{3}{2}) = \frac{5}{4}$ ，求函数 $y = g (x)$ $(x \in [1, 2])$ 的反函数；

(3)、若在 $[0, 2]$ 上存在 $n$ 个不同的点 $x_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n . n \geq 3)$ ， $x_{1} < x_{2} < \cdot \cdot \cdot < x_{n}$ ，使得 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | + | f (x_{2}) - f (x_{3}) | + \cdot \cdot \cdot + | f (x_{n - 1}) - f (x_{n}) | = 8$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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