吉林省重点高中2019-2020学年高三上学期理数第二次月考试卷

试卷更新日期：2020-01-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {x \in N | - 2 < x < 6}$ ，若 $A = {2, 4}$ ， $B = {1, 3, 4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${1, 3}$ B、 ${1, 5}$ C、 ${3, 5}$ D、 ${1, 3, 5}$

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2. “ $\forall x \in (2, + \infty)$ ， $x^{2} - 2 x > 0$ ”的否定是 $（）$

A、 $\exists x_{0} \in (- \infty, 2]$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} \leq 0$ B、 $\forall x \in (2, + \infty)$ ， $x^{2} - 2 x \leq 0$ C、 $\exists x_{0} \in (2, + \infty)$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} \leq 0$ D、 $\forall x \in (- \infty, 2]$ ， $x^{2} - 2 x > 0$

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3. 若角 $α$ 的终边过点 $P (- \sqrt{3}, \cos 0)$ ，则 $\tan α$ 的值是 $（）$

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 已知某扇形的面积为 $2.5 {cm}^{2}$ ，若该扇形的半径 $r$ ，弧长 $l$ 满足 $2 r + l = 7 cm$ ，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $5$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{4}{5}$ 或 $5$

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5. 函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x$ 的一个零点所在区间为（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, 2)$

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6. 如图，若 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ， $B$ 是线段 $A C$ 靠近点 $C$ 的一个四等分点，则下列等式成立的是（）

A、 $\vec{c} = \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{6} \vec{a}$ B、 $\vec{c} = \frac{4}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{a}$ C、 $\vec{c} = \frac{4}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{a}$ D、 $\vec{c} = \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{a}$

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7. 若 $\cos θ = - \frac{4}{5}$ ，且 $θ$ 为第三象限角，则 $\tan (θ + \frac{π}{4})$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $- 7$ D、 $7$

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8. 若函数 $y = \sin x$ 的图象与直线 $y = - x$ 一个交点的坐标为 $(x_{0} ， y_{0})$ ，则 $1 - x_{0}^{2} + \cos^{2} (x_{0} + \frac{3 π}{2}) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $\pm 1$ D、无法确定

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9. 已知在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ，若 $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，则 $\vec{D E} \cdot \vec{D F} =$ （）

A、 $8$ B、 $10$ C、 $12$ D、 $14$

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10. 已知 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $A = \frac{π}{3}$ ， $b = 2$ ， $S_{Δ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ，则 $Δ A B C$ 外接圆的面积为（）

A、 $2 π$ B、 $4 π$ C、 $8 π$ D、 $16 π$

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11. 一艘轮船从A出发，沿南偏东 $a + b = a b$ 的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了 $c = 2$ 海里到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程（海里）分别为（）

A、北偏东 $C = \frac{π}{3}$ ， $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C$ B、北偏东 $a^{2} + b^{2} - a b = 4$ ， ${(a + b)}^{2} - 3 a b = 4$ C、北偏东 $a^{2} + b^{2} - a b = 4$ ， $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C$ D、北偏东 $C = \frac{π}{3}$ ， ${(a + b)}^{2} - 3 a b = 4$

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12. 若函数 $f (x) = | \log_{3} x | + 6 x^{2} - x^{3} - 9 x + 4 - a$ 在区间 $(0 ， 3]$ 上有两个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 5]$ B、 $(- \infty ， 5)$ C、 $(0 ， 5)$ D、 $[5 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 若 $2^{x} = 9$ ， $y = \log_{2} \frac{8}{3}$ ，则 $x + 2 y =$ ．

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14. 已知平面向量 $\vec{a} = (4, - 3)$ ， $\vec{b} = (- x, 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $x =$ ．

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15. 化简： $\frac{\sin (θ - \frac{3 π}{2}) \cos (π - θ)}{\sin (θ + π) \cos (θ - \frac{π}{2})} =$ ．

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16. 已知奇函数 $f (x)$ 在定义域 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增，若 $f (\cos x + \cos 2 x) + f (\cos x + m) \geq 0$ 对任意的 $x \in (- \infty, + \infty)$ 成立，则实数 $m$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知 $\frac{\tan θ}{1 - \tan θ} = 1$ ，求下列各式的值：

(1)、 $\frac{\sin θ - \cos θ}{\sin θ + \cos θ}$ ；

(2)、 $\sin (π - θ) \cos (π + θ) - \cos^{2} (θ + \frac{π}{2}) - 2$ .

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18. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [- 1, 2]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值．

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19. 已知平面向量 $\vec{m} = (\sin (x - \frac{π}{6}) ， \frac{1}{2})$ ， $\vec{n} = (\cos x ， \frac{1}{2}) .$

(1)、若 $\vec{m} / / \vec{n}$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求实数x的值；

(2)、求函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ 的单调递减区间．

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20. 已知函数 $f (x) = \sin ω x \cos ω x - \sqrt{3} \sin^{2} ω x + \frac{\sqrt{3}}{2} (ω > 0)$ 图象两条相邻的对称轴间的距离为 $\frac{π}{4}$ .

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的 $2$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (2019 π)$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = a \cdot 2^{x} - x^{2} - \frac{4}{3} a (a \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 是偶函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{4^{x} + 1}{2^{x}} - x^{2}$ ，关于 $x$ 的方程 $f (x) = g (x)$ 有且只有一个实数根，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处切线的方程；

(2)、讨论函数 $g (x) = f (x) + \frac{3}{2} x^{2} - 4 x$ 的极值；

(3)、若 $f (x) \leq m (x^{2} - 1)$ 对任意的 $x \in [1 ， + \infty)$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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