黑龙江哈尔滨市南岗区2018-2019学年八年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-01-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在平面直角坐标系中，点 $(- 2, 6)$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标是（）

A、 $(2, 6)$ B、 $(2, - 6)$ C、 $(- 2, - 6)$ D、 $(6, - 2)$

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2. 使 $\sqrt{x - 3}$ 有意义的x的取值范围是（）

A、x≤3 B、x＜3 C、x≥3 D、x＞3

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3. 下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{27} - \sqrt{18} = 3$ C、 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2} \div \sqrt{\frac{1}{2}} = 2$

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5. 若 $x = 4$ 是分式方程 $\frac{a - 2}{x} = \frac{1}{x - 3}$ 的根，则 $a$ 的值为（）

A、6 B、-6 C、4 D、-4

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6. 下列运算正确的是（）

A、 $(- 5 a^{2} b) (- 3 a) = 15 a^{2} b$ B、 ${(- a^{2} b)}^{3} = a^{6} b^{3}$ C、 $4 a^{4} \div 2 a^{3} = \frac{1}{2} a$ D、 ${(\sqrt{2})}^{2} - 4^{0} = 1$

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7. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）

A、 $\frac{2 + x}{x - y}$ B、 $\frac{2 y}{x^{2}}$ C、 $\frac{2 y^{3}}{3 x^{2}}$ D、 $\frac{2 y^{2}}{{(x - y)}^{2}}$

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8. 若 $a - b = 3$ ， $a b = 1$ ，则 $a^{3} b - 2 a^{2} b^{2} + a b^{3}$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $9$ D、 $12$

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9. 甲、乙两地相距600km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用4h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍，设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{600}{x}$ $+ \frac{600}{3 x}$ =4 B、 $\frac{600}{3 x}$ $- \frac{600}{x}$ =4 C、 $\frac{600}{x}$ $- \frac{600}{3 x}$ =4 D、 $\frac{600}{x}$ $- \frac{600}{3 x}$ =4×2

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10. 如图是由 $8$ 个全等的长方形组成的大正方形，线段 $A B$ 的端点都在小长方形的顶点上，如果点 $P$ 是某个小长方形的顶点，连接 $P A$ ， $P B$ ，那么使 $Δ A B P$ 为等腰直角三角形的点 $P$ 的个数是（）.

A、 $2$ 个 B、 $3$ 个 C、 $4$ 个 D、 $5$ 个

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二、填空题

11. 在人体血液中，红细胞直径约为 $0.00077 c m$ ，数据0.00077用科学记数法表示为．

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12. 计算： $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{18}$ =.

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13. 分解因式： $x^{2} y - 4y =$ ．

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14. 分式 $\frac{x^{2} - 9}{x + 3}$ 的值为0，那么x的值为．

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15. 化简： $a^{- 2} b^{2} \cdot {(a^{2} b^{- 2})}^{- 3}$ =.

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16. 不等式 $(3 x + 4) (3 x - 4) < 9 (x - 2) (x + 3)$ 的解集为.

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17. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则该三角形的面积为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ .现已知 $Δ A B C$ 的三边长分别为 $1$ ， $2$ ， $\sqrt{7}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为.

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18. 已知 $5^{m} = 3$ ， $5^{n} = 2$ ，则 $5^{2 m - 3 n}$ 的值为.

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19. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ A C$ 交射线 $C B$ 于点 $D$ ，若 $Δ A B D$ 是等腰三角形，则 $∠ C$ 的大小为度.

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20. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $∠ A = 30^{\circ}$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上， $A D = 4$ ， $C D = 5$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $A B$ ， $B C$ 上的动点，连接 $D E$ ， $E F$ ，则 $D E + E F$ 的最小值为.

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三、解答题

21.

(1)、 $2 x (\frac{1}{2} x^{2} - 1) - 3 x (\frac{1}{3} x^{2} + \frac{2}{3})$

(2)、 $4 {(x + 1)}^{2} - (2 x + 5) (2 x - 5)$

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22. 先化简，再求代数式 $(2 - \frac{x - 1}{x + 1}) \div \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} + x}$ 的值，其中 $x = \frac{\sqrt{12}}{2} - 3$ .

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23. 如图，将边长为的形纸板沿虚线剪成面积分别为 $8$ ， $18$ 的两个小正方形和两个长方形，已知边长为 $n$ 的小正方形的面积为 $8$ ，拿掉边长为 $n$ 的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的长方形.

(1)、填空： $m$ = ， $n$ =；

(2)、求拼成的新长方形我的面积.

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24. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A C = B C$ ，点 $O$ 是 $A B$ 的中点，点 $D$ 是 $O B$ 上的一点（点 $D$ 不与点 $O$ ， $B$ 重合）.过点 $A$ ，点 $B$ 作直线 $C D$ 的垂线，垂足分别为点 $E$ 和点 $F$ .

(1)、如图1，求证： $E F = A E - B F$ ；

(2)、如图2，连接 $O E$ ， $O F$ ，请判断线段 $O E$ 与 $O F$ 之间的数量关系和位置关系，并说明理由.

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25. 市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 $1.5$ 倍，甲队改造 $240$ 米的道路比乙队改造同样长的道路少用 $2$ 天.

(1)、甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？

(2)、若甲队工作一天的改造费用 $7$ 万元，乙队工作一天的改造费用为 $5$ 万元，如需改造的道路全长为 $1800$ 米，改造总费用不超过 $220$ 万元，至少安排甲队工作多少天？

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26. 阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到 $18$ 世纪瑞士数学家欧拉（L.Euler，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若 $a^{x} = N (a > 0 ， a \neq 1)$ ，那么 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作： $x = \log_{a} N$ .比如指数式 $2^{4} = 16$ 可以转化为 $4 = \log_{2} 16$ ，对数式 $2 = \log_{5} 25$ 可以转化为 $5^{2} = 25$ .我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： $\log_{a} (M \cdot N) = \log_{a} M + \log_{a} N$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $N > 0$ ）；理由如下：设 $\log_{a}$ M=m， $\log_{a} N = n$ ，则 $M = a^{m}$ ， $N = a^{n}$ $∴ M \cdot N = a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ，由对数的定义得 $m + n = \log_{a} (M \cdot N)$ 又 $∵ m + n = \log_{a} M$ + $\log_{a} N$ $∴ \log_{a} (M \cdot N) = \log_{a} M + \log_{a} N$ .解决一下问题：

(1)、将指数式 $2^{6} = 64$ 转化为对数式；

(2)、证明 $\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $N > 0$ ）；

(3)、拓展运用：计算 $\log_{4} 12 + \log_{4} 3 - \log_{4} 9$ =.

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27. 已知： $A D$ 是 $Δ A B C$ 的高，且 $B D = C D$ .

(1)、如图1，求证： $∠ B A D = ∠ C A D$ ；

(2)、如图2，点E在AD上，连接 $B E$ ，将 $Δ A B E$ 沿 $B E$ 折叠得到 $Δ A' B E$ ， $A' B$ 与 $A C$ 相交于点 $F$ ，若BE=BC，求 $∠ B F C$ 的大小；

(3)、如图3，在（2）的条件下，连接 $E F$ ，过点 $C$ 作 $C G ⊥ E F$ ，交 $E F$ 的延长线于点 $G$ ，若 $B F = 10$ ， $E G = 6$ ，求线段 $C F$ 的长.

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